题目

9.函数u=x^2-2yz在点(1,-2,2)处的方向导数最大值为____.

9.函数$u=x^{2}-2yz$在点(1,-2,2)处的方向导数最大值为____.

题目解答

答案

计算函数 $ u = x^2 - 2yz $ 的梯度： \[ \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) = (2x, -2z, -2y). \] 在点 $(1, -2, 2)$ 处求值： \[ \nabla u \bigg|_{(1, -2, 2)} = (2, -4, 4). \] 计算梯度的模： \[ $ \nabla u \bigg|_{(1, -2, 2)} $ = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = 6. \] 方向导数的最大值等于梯度的模，因此答案为 $\boxed{6}$。

解析

方向导数的最大值出现在梯度方向上，其值等于梯度的模长。因此，解题的关键是：

  1. 计算梯度：分别求函数对$x$、$y$、$z$的偏导数；
  2. 代入点坐标：将点$(1, -2, 2)$代入梯度表达式；
  3. 求梯度的模：利用向量模长公式计算。

计算梯度

函数$u = x^2 - 2yz$的梯度为：
$\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) = (2x, -2z, -2y)$

代入点$(1, -2, 2)$

将$x=1$，$y=-2$，$z=2$代入梯度表达式：
$\nabla u \bigg|_{(1, -2, 2)} = (2 \cdot 1, -2 \cdot 2, -2 \cdot (-2)) = (2, -4, 4)$

求梯度的模

梯度的模长为：
$\|\nabla u\| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$