题目

已知f(x+(1)/(x))=(x+x^3)/(1+x^4)，则f(x)= ________。

已知$f\left(x+\frac{1}{x}\right)=\frac{x+x^3}{1+x^4}$，则$f(x)=$ ________。

题目解答

答案

我们已知函数关系：

$f\left(x + \frac{1}{x}\right) = \frac{x + x^3}{1 + x^4}$

我们的目标是求出函数 $ f(x) $ 的表达式。

第一步：设变量替换

设：

$t = x + \frac{1}{x}$

我们希望将右边的表达式用 $ t $ 表示，从而得到 $ f(t) $。

第二步：用 $ t $ 表示右边的表达式

我们先分析右边的表达式：

$\frac{x + x^3}{1 + x^4}$

可以将其分子和分母都除以 $ x $，得到：

$\frac{x + x^3}{1 + x^4} = \frac{1 + x^2}{\frac{1}{x} + x^3}$

不太好简化。我们尝试另一个思路。

第三步：尝试用 $ x + \frac{1}{x} = t $ 表达右边

我们知道：

$x + \frac{1}{x} = t \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$

我们尝试将右边表达式：

$\frac{x + x^3}{1 + x^4}$

也用 $ x + \frac{1}{x} $ 来表示。

我们尝试将分子和分母都除以 $ x^2 $：

$\frac{x + x^3}{1 + x^4} = \frac{\frac{1}{x} + x}{\frac{1}{x^2} + x^2}$

注意到：

  • 分子：$ \frac{1}{x} + x = x + \frac{1}{x} = t $
  • 分母：$ \frac{1}{x^2} + x^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 $

所以：

$\frac{x + x^3}{1 + x^4} = \frac{t}{t^2 - 2}$

第四步：得到 $ f(t) $

我们有：

$f\left(x + \frac{1}{x}\right) = \frac{x + x^3}{1 + x^4} = \frac{t}{t^2 - 2}$

所以：

$f(t) = \frac{t}{t^2 - 2}$

最终答案：

$\boxed{f(x) = \frac{x}{x^2 - 2}}$

✅ 答： $ \boxed{f(x) = \frac{x}{x^2 - 2}} $

解析

考查要点：本题主要考查函数的变量替换与代数变形能力，需要将给定的复合函数表达式转化为关于新变量的函数形式。

解题核心思路：通过设$t = x + \frac{1}{x}$，将原式中的分子和分母进行变形，利用代数恒等式将表达式转化为关于$t$的形式，从而得到$f(t)$的表达式。

破题关键点：

  1. 变量替换：引入中间变量$t = x + \frac{1}{x}$，简化表达式。
  2. 分子分母变形：将分子和分母同时除以$x^2$，利用$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$的恒等式，将原式转化为关于$t$的表达式。

步骤1：设中间变量
设$t = x + \frac{1}{x}$，则$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$（通过平方展开可得）。

步骤2：变形分子和分母
将原式$\frac{x + x^3}{1 + x^4}$的分子和分母同时除以$x^2$：
$\frac{x + x^3}{1 + x^4} = \frac{\frac{x + x^3}{x^2}}{\frac{1 + x^4}{x^2}} = \frac{\frac{1}{x} + x}{\frac{1}{x^2} + x^2}.$

步骤3：代入变量$t$
分子$\frac{1}{x} + x = t$，分母$\frac{1}{x^2} + x^2 = t^2 - 2$，因此：
$\frac{x + x^3}{1 + x^4} = \frac{t}{t^2 - 2}.$

步骤4：确定$f(t)$的表达式
根据题意，$f\left(x + \frac{1}{x}\right) = \frac{t}{t^2 - 2}$，即$f(t) = \frac{t}{t^2 - 2}$。

步骤5：替换变量得到$f(x)$
将$t$替换为$x$，得：
$f(x) = \frac{x}{x^2 - 2}.$