题目
3.设实数a∈(0,1).数列(x_{n)}满足x_(0)=1,且对任意正整数n,均有x_(n)=(1)/(x_(n-1))+a.证明:对任意正整数n,有x_(n)>1.
3.设实数a∈(0,1).数列{x_{n}}满足x_{0}=1,且对任意正整数n,均有$x_{n}=\frac{1}{x_{n-1}}+a$.证明:对任意正整数n,有$x_{n}>1$.
题目解答
答案
**证明：**
1. **基础情况：**
当 $ n=1 $ 时，$ x_1 = \frac{1}{x_0} + a = 1 + a > 1 $（因为 $ a \in (0,1) $），成立。
2. **归纳假设：**
假设 $ x_k > 1 $ 对于某个正整数 $ k $ 成立。
3. **归纳步骤：**
考虑 $ x_{k+1} = \frac{1}{x_k} + a $。由归纳假设 $ x_k > 1 $，得 $ \frac{1}{x_k} \in (0,1) $。
因此，$ x_{k+1} = \frac{1}{x_k} + a \in (a, 1+a) $，而 $ 1+a > 1 $，故 $ x_{k+1} > 1 $。
由数学归纳法，对任意正整数 $ n $，有 $ x_n > 1 $。
\[
\boxed{x_n > 1}
\]