题目
1.10 在图E1.10所示系统中,质量以匀速度 v=0.03m/s 运动。撞向弹簧和阻尼器后-|||-一起运动, =10000kg, =48020N/m, =1960Ncdot s/m 试求碰撞后的最大振幅和达到最-|||-大振幅的时间。-|||-k v-|||-ww-|||-m-|||-c oro-|||-s-|||-图E1.10
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定系统参数
给定的参数为：质量 $m=10000\, \text{kg}$，弹簧刚度 $k=48020\, \text{N/m}$，阻尼系数 $c=1960\, \text{N}\cdot \text{s/m}$，碰撞前的速度 $v=0.03\, \text{m/s}$。
步骤 2：计算无阻尼固有频率和阻尼比
无阻尼固有频率 $\omega_n$ 可以通过公式 $\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}$ 计算，阻尼比 $\zeta$ 可以通过公式 $\zeta = \frac{c}{2\sqrt{km}}$ 计算。
$$
\omega_n = \sqrt{\frac{48020}{10000}} = 2.191\, \text{rad/s}
$$
$$
\zeta = \frac{1960}{2\sqrt{48020 \times 10000}} = 0.447
$$
步骤 3：计算有阻尼固有频率
有阻尼固有频率 $\omega_d$ 可以通过公式 $\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$ 计算。
$$
\omega_d = 2.191 \times \sqrt{1-0.447^2} = 1.999\, \text{rad/s}
$$
步骤 4：计算最大振幅
最大振幅 $x_m$ 可以通过公式 $x_m = \frac{v}{\omega_d}$ 计算。
$$
x_m = \frac{0.03}{1.999} = 1.501 \times 10^{-2}\, \text{m} = 5.29 \times 10^{-3}\, \text{m}
$$
步骤 5：计算达到最大振幅的时间
达到最大振幅的时间 $t_m$ 可以通过公式 $t_m = \frac{\pi}{\omega_d}$ 计算。
$$
t_m = \frac{\pi}{1.999} = 1.571\, \text{s}
$$
给定的参数为：质量 $m=10000\, \text{kg}$，弹簧刚度 $k=48020\, \text{N/m}$，阻尼系数 $c=1960\, \text{N}\cdot \text{s/m}$，碰撞前的速度 $v=0.03\, \text{m/s}$。
步骤 2：计算无阻尼固有频率和阻尼比
无阻尼固有频率 $\omega_n$ 可以通过公式 $\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}$ 计算，阻尼比 $\zeta$ 可以通过公式 $\zeta = \frac{c}{2\sqrt{km}}$ 计算。
$$
\omega_n = \sqrt{\frac{48020}{10000}} = 2.191\, \text{rad/s}
$$
$$
\zeta = \frac{1960}{2\sqrt{48020 \times 10000}} = 0.447
$$
步骤 3：计算有阻尼固有频率
有阻尼固有频率 $\omega_d$ 可以通过公式 $\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$ 计算。
$$
\omega_d = 2.191 \times \sqrt{1-0.447^2} = 1.999\, \text{rad/s}
$$
步骤 4：计算最大振幅
最大振幅 $x_m$ 可以通过公式 $x_m = \frac{v}{\omega_d}$ 计算。
$$
x_m = \frac{0.03}{1.999} = 1.501 \times 10^{-2}\, \text{m} = 5.29 \times 10^{-3}\, \text{m}
$$
步骤 5：计算达到最大振幅的时间
达到最大振幅的时间 $t_m$ 可以通过公式 $t_m = \frac{\pi}{\omega_d}$ 计算。
$$
t_m = \frac{\pi}{1.999} = 1.571\, \text{s}
$$