lim _(xarrow 0)dfrac ({x)^2sin dfrac (1)(x)}(tan x)=A.0B.1C.lim _(xarrow 0)dfrac ({x)^2sin dfrac (1)(x)}(tan x)=D.-1

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，涉及等价无穷小替换和夹逼定理的应用。

解题核心思路：

1. 等价无穷小替换：当$x \rightarrow 0$时，$\tan x \sim x$，可简化分母。
2. 有界函数与无穷小量乘积：$\sin \frac{1}{x}$在$x \rightarrow 0$时有界，而$x$本身是无穷小量，其乘积的极限为0。

破题关键点：

• 正确替换$\tan x$为$x$，简化表达式。
• 判断$x \sin \frac{1}{x}$的极限时，利用夹逼定理。

步骤1：等价无穷小替换
当$x \rightarrow 0$时，$\tan x \sim x$，因此原式可化简为：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}\sin \dfrac {1}{x}}{\tan x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}\sin \dfrac {1}{x}}{x} = \lim _{x\rightarrow 0} x \sin \dfrac {1}{x}.$

步骤2：应用夹逼定理
由于$\sin \dfrac{1}{x}$的取值范围为$[-1, 1]$，即：
$-1 \leq \sin \dfrac{1}{x} \leq 1.$
两边同时乘以$x$（$x \rightarrow 0^+$时，$x > 0$）：
$-|x| \leq x \sin \dfrac{1}{x} \leq |x|.$
当$x \rightarrow 0$时，$|x| \rightarrow 0$，根据夹逼定理：
$\lim _{x\rightarrow 0} x \sin \dfrac {1}{x} = 0.$