题目
9.设a_(n)=int_(0)^1x^nsqrt(1-x^2)dx,b_(n)=int_(0)^(pi)/(2)sin^ntdt,则极限lim_(ntoinfty)[((n+1)a_(n))/(b_(n))]^n=( ).A.0 B.e C.e^-1 D.+∞
9.设$a_{n}=\int_{0}^{1}x^{n}\sqrt{1-x^{2}}dx,b_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}tdt$,则极限$\lim_{n\to\infty}[\frac{(n+1)a_{n}}{b_{n}}]^{n}=( )$.
A.0 B.e C.e^{-1} D.+∞
题目解答
答案
令 $a_n = \int_0^1 x^n \sqrt{1-x^2} \, dx$，$b_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n t \, dt$。
通过换元 $x = \sin t$，得 $a_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n t \cos^2 t \, dt = b_n - b_{n+2}$。
利用递推关系 $b_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} b_n$，有 $a_n = \frac{1}{n+2} b_n$。
因此，$\frac{(n+1)a_n}{b_n} = \frac{n+1}{n+2}$。
计算极限：
\[
\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n+2} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n+2} \right)^n = e^{-1}.
\]
**答案：** $\boxed{e^{-1}}$