题目
设 X 的概率密度为f(x)= ) 2x,xin (0,1) 0,else .
设 X 的概率密度为
，求
的概率密度为（）
A
B
C
题目解答
答案
由题设可知X 的概率密度为，
则当
或
时，
当
时，
；
由于
，则概率密度为
故答案为A。
解析
步骤 1：确定Y的取值范围
由于$Y=2X+1$，且$X\in(0,1)$，则$Y$的取值范围为$(1,3)$。
步骤 2：计算Y的分布函数
当$y\geqslant 3$或$y\leqslant 1$时，${F}_{Y}(y)=0$。
当$1\lt y\lt 3$时，${F}_{Y}(y)=P(Y\leqslant y)=P(2X+1\leqslant y)=P(X\leqslant \dfrac{y-1}{2})$。
步骤 3：计算Y的概率密度函数
${F}_{Y}(y)=\int_{0}^{\frac{y-1}{2}}2xdx=\left.x^{2}\right|_{0}^{\frac{y-1}{2}}=\frac{(y-1)^{2}}{4}$。
因此，$f(y)=\frac{d}{dy}F_{Y}(y)=\frac{d}{dy}\frac{(y-1)^{2}}{4}=\frac{y-1}{2}$。
由于$Y=2X+1$，且$X\in(0,1)$，则$Y$的取值范围为$(1,3)$。
步骤 2：计算Y的分布函数
当$y\geqslant 3$或$y\leqslant 1$时，${F}_{Y}(y)=0$。
当$1\lt y\lt 3$时，${F}_{Y}(y)=P(Y\leqslant y)=P(2X+1\leqslant y)=P(X\leqslant \dfrac{y-1}{2})$。
步骤 3：计算Y的概率密度函数
${F}_{Y}(y)=\int_{0}^{\frac{y-1}{2}}2xdx=\left.x^{2}\right|_{0}^{\frac{y-1}{2}}=\frac{(y-1)^{2}}{4}$。
因此，$f(y)=\frac{d}{dy}F_{Y}(y)=\frac{d}{dy}\frac{(y-1)^{2}}{4}=\frac{y-1}{2}$。