3. (25.0分) 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则Z=X+Y的概率密度为 f_Z(z)=int_(-infty)^+inftyf(x,z-x)dx.A. 对B. 错

本题考查二维随机变量和的概率密度的求解方法。解题思路是通过先求出$Z = X + Y$的分布函数$F_Z(z)$，再对分布函数求导得到概率密度函数$f_Z(z)$。

步骤一：求$Z = X + Y$的分布函数$F_Z(z)$

分布函数的定义为$F_Z(z)=P(Z\leq z)$，因为$Z = X + Y$，所以$F_Z(z)=P(X + Y\leq z)$。
根据联合概率密度的性质，$P(X + Y\leq z)=\underset{x + y\leq z}{\iint}f(x,y)dxdy$。
这里的积分区域是$x + y\leq z$，即$y\leq z - x$，$x$的取值范围是$(-\infty,+\infty)$，$y$的取值范围是$(-\infty,z - x)$，所以$F_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{z - x}f(x,y)dy\right]dx$。

步骤二：对分布函数$F_Z(z)$求导得到概率密度函数$f_Z(z)$

根据概率密度函数与分布函数的关系$f_Z(z)=\frac{dF_Z(z)}{dz}$。
由变上限积分求导法则，若$F(z)=\int_{a}^{z}g(t)dt$，则$F^\prime(z)=g(z)$。
对$F_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{z - x}f(x,y)dy\right]dx$关于$z$求导，令$u = z - x$，则$\frac{d}{dz}\int_{-\infty}^{z - x}f(x,y)dy=f(x,z - x)$。
所以$f_Z(z)=\frac{dF_Z(z)}{dz}=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z - x)dx$。