题目
已知矢量A= overrightarrow (A)=overrightarrow ({e)_(2)}(x)^2+overrightarrow ({e)_(y)}x(y)^3+overrightarrow ({e)_(2)}(z)^2，求矢量A= overrightarrow (A)=overrightarrow ({e)_(2)}(x)^2+overrightarrow ({e)_(y)}x(y)^3+overrightarrow ({e)_(2)}(z)^2的散度和旋度.
已知矢量
，求矢量
的散度和旋度.
题目解答
答案
本题考查场论.
解析
步骤 1：计算矢量的散度
矢量的散度定义为：$div\overrightarrow {A}=\nabla \cdot \overrightarrow {A}=\dfrac {\partial A_x}{\partial x}+\dfrac {\partial A_y}{\partial y}+\dfrac {\partial A_z}{\partial z}$，其中$\overrightarrow {A}=A_x\overrightarrow {{e}_{x}}+A_y\overrightarrow {{e}_{y}}+A_z\overrightarrow {{e}_{z}}$。
步骤 2：计算矢量的旋度
矢量的旋度定义为：$rot\overrightarrow {A}=\nabla \times \overrightarrow {A}=\begin{vmatrix} \overrightarrow {{e}_{x}} & \overrightarrow {{e}_{y}} & \overrightarrow {{e}_{z}} \\ \dfrac {\partial }{\partial x} & \dfrac {\partial }{\partial y} & \dfrac {\partial }{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}$，其中$\overrightarrow {A}=A_x\overrightarrow {{e}_{x}}+A_y\overrightarrow {{e}_{y}}+A_z\overrightarrow {{e}_{z}}$。
步骤 3：代入已知矢量$\overrightarrow {A}=\overrightarrow {{e}_{x}}{x}^{2}+\overrightarrow {{e}_{y}}x{y}^{3}+\overrightarrow {{e}_{2}}{z}^{2}$，计算散度和旋度。
矢量的散度定义为：$div\overrightarrow {A}=\nabla \cdot \overrightarrow {A}=\dfrac {\partial A_x}{\partial x}+\dfrac {\partial A_y}{\partial y}+\dfrac {\partial A_z}{\partial z}$，其中$\overrightarrow {A}=A_x\overrightarrow {{e}_{x}}+A_y\overrightarrow {{e}_{y}}+A_z\overrightarrow {{e}_{z}}$。
步骤 2：计算矢量的旋度
矢量的旋度定义为：$rot\overrightarrow {A}=\nabla \times \overrightarrow {A}=\begin{vmatrix} \overrightarrow {{e}_{x}} & \overrightarrow {{e}_{y}} & \overrightarrow {{e}_{z}} \\ \dfrac {\partial }{\partial x} & \dfrac {\partial }{\partial y} & \dfrac {\partial }{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}$，其中$\overrightarrow {A}=A_x\overrightarrow {{e}_{x}}+A_y\overrightarrow {{e}_{y}}+A_z\overrightarrow {{e}_{z}}$。
步骤 3：代入已知矢量$\overrightarrow {A}=\overrightarrow {{e}_{x}}{x}^{2}+\overrightarrow {{e}_{y}}x{y}^{3}+\overrightarrow {{e}_{2}}{z}^{2}$，计算散度和旋度。