题目
11、设圆环域D=(x,y)mid 1le x^2+y^2le 2被坐标轴划分为四个区域，第k象限的部分记为D_(k)(k=1,2,3,4)，记I_(k)=iintlimits_(D_{k)}|x|cdot y^3dxdy，求I_(k),k=1,2,3,4.
11、设圆环域$D=\left\{(x,y)\mid 1\le x^{2}+y^{2}\le 2\right\}$被坐标轴划分为四个区域，第k象限的部
分记为$D_{k}(k=1,2,3,4)$，记$I_{k}=\iint\limits_{D_{k}}|x|\cdot y^{3}dxdy$，求$I_{k},k=1,2,3,4$.
题目解答
答案
将圆环域 $D$ 转化为极坐标系，其中 $1 \leq r \leq \sqrt{2}$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。被积函数 $|x| \cdot y^3$ 变为 $r^5 |\cos \theta| \sin^3 \theta$。
分别计算四个象限的积分：
- $D_1$（第一象限）：$I_1 = \frac{7}{24}$
- $D_2$（第二象限）：$I_2 = \frac{7}{24}$
- $D_3$（第三象限）：$I_3 = -\frac{7}{24}$
- $D_4$（第四象限）：$I_4 = -\frac{7}{24}$
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{cc}
I_1 = I_2 = \frac{7}{24}, & I_3 = I_4 = -\frac{7}{24}
\end{array}
}
\]