题目
[例3]当 arrow 0 时,比 ^2-sin (x)^2 高阶的无穷小是( )-|||-A. -tan x B. (ln )^3(1+(x)^3)-|||-C.sinx
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析 ${x}^{2}-\sin {x}^{2}$ 的阶数
当 $x\rightarrow 0$ 时，$\sin {x}^{2}$ 可以用泰勒展开式近似为 ${x}^{2}-\dfrac{1}{6}{x}^{4}+O({x}^{6})$，因此 ${x}^{2}-\sin {x}^{2} \sim \dfrac{1}{6}{x}^{4}+O({x}^{6})$。所以 ${x}^{2}-\sin {x}^{2}$ 是 $x^4$ 的高阶无穷小。
步骤 2：分析 $x-\tan x$ 的阶数
当 $x\rightarrow 0$ 时，$\tan x$ 可以用泰勒展开式近似为 $x+\dfrac{1}{3}{x}^{3}+O({x}^{5})$，因此 $x-\tan x \sim -\dfrac{1}{3}{x}^{3}+O({x}^{5})$。所以 $x-\tan x$ 是 $x^3$ 的高阶无穷小。
步骤 3：分析 ${\ln }^{3}(1+{x}^{3})$ 的阶数
当 $x\rightarrow 0$ 时，$\ln(1+{x}^{3})$ 可以用泰勒展开式近似为 ${x}^{3}-\dfrac{1}{2}{x}^{6}+O({x}^{9})$，因此 ${\ln }^{3}(1+{x}^{3}) \sim {x}^{9}+O({x}^{12})$。所以 ${\ln }^{3}(1+{x}^{3})$ 是 $x^9$ 的高阶无穷小。
步骤 4：分析 $\sin x$ 的阶数
当 $x\rightarrow 0$ 时，$\sin x$ 可以用泰勒展开式近似为 $x-\dfrac{1}{6}{x}^{3}+O({x}^{5})$。所以 $\sin x$ 是 $x$ 的高阶无穷小。
当 $x\rightarrow 0$ 时，$\sin {x}^{2}$ 可以用泰勒展开式近似为 ${x}^{2}-\dfrac{1}{6}{x}^{4}+O({x}^{6})$，因此 ${x}^{2}-\sin {x}^{2} \sim \dfrac{1}{6}{x}^{4}+O({x}^{6})$。所以 ${x}^{2}-\sin {x}^{2}$ 是 $x^4$ 的高阶无穷小。
步骤 2：分析 $x-\tan x$ 的阶数
当 $x\rightarrow 0$ 时，$\tan x$ 可以用泰勒展开式近似为 $x+\dfrac{1}{3}{x}^{3}+O({x}^{5})$，因此 $x-\tan x \sim -\dfrac{1}{3}{x}^{3}+O({x}^{5})$。所以 $x-\tan x$ 是 $x^3$ 的高阶无穷小。
步骤 3：分析 ${\ln }^{3}(1+{x}^{3})$ 的阶数
当 $x\rightarrow 0$ 时，$\ln(1+{x}^{3})$ 可以用泰勒展开式近似为 ${x}^{3}-\dfrac{1}{2}{x}^{6}+O({x}^{9})$，因此 ${\ln }^{3}(1+{x}^{3}) \sim {x}^{9}+O({x}^{12})$。所以 ${\ln }^{3}(1+{x}^{3})$ 是 $x^9$ 的高阶无穷小。
步骤 4：分析 $\sin x$ 的阶数
当 $x\rightarrow 0$ 时，$\sin x$ 可以用泰勒展开式近似为 $x-\dfrac{1}{6}{x}^{3}+O({x}^{5})$。所以 $\sin x$ 是 $x$ 的高阶无穷小。