题目

2.若A(2,1,-1),B(1,-1,1),C(1,0,0),D(1,5,-5)为共线四点，求(AB,CD).3.设P_(1)(1,1,1),P_(2)(1,-1,1),P_(4)(1,0,1)为共线三点，且(P_(1)P_(2),P_(3)P_(4))=2,求P_(3)的坐标

2.若A(2,1,-1),B(1,-1,1),C(1,0,0),D(1,5,-5)为共线四点，求(AB,CD). 3.设$P_{1}(1,1,1)$,$P_{2}(1,-1,1)$,$P_{4}(1,0,1)$为共线三点，且$(P_{1}P_{2},P_{3}P_{4})=2$,求$P_{3}$的坐标

题目解答

答案

  1. 求(AB, CD)
    将点表示为向量：
    $\overrightarrow{AB} = (-1, -2, 2), \quad \overrightarrow{CD} = (0, 5, -5)$
    使用齐次坐标表示点：
    $C = \frac{1}{3}A + \frac{1}{3}B, \quad D = 2A - 3B$
    交比公式：
    $(AB, CD) = -\frac{2}{3}$
    答案： $\boxed{-\frac{2}{3}}$

  2. 求$P_3$坐标
    设$P_3 = (x, y, z)$，利用交比定义：
    $(P_1P_2, P_3P_4) = 2 \implies P_3 = P_1$
    答案： $\boxed{(1, 1, 1)}$

解析

本题主要考查空间向量的运算以及交比的相关知识。解题的关键在于先将点转化为向量，再利用交比公式进行计算。

第2题

  1. 求向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{CD}$
    已知$A(2,1,-1)$，$B(1,-1,1)$，$C(1,0,0)$，$D(1,5,-5)$，根据向量坐标运算，若有两点$M(x_1,y_1,z_1)$，$N(x_2,y_2,z_2)$，则$\overrightarrow{MN}=(x_2 - x_1,y_2 - y_1,z_2 - z_1)$。
    所以$\overrightarrow{AB}=(1 - 2,-1 - 1,1 - (-1))=(-1,-2,2)$，$\overrightarrow{CD}=(1 - 1,5 - 0,-5 - 0)=(0,5,-5)$。
  2. 将点表示为向量的线性组合
    设$C = \lambda A+(1 - \lambda)B$，$D=\mu A+(1 - \mu)B$，将坐标代入可得：
    $\begin{cases}2\lambda+(1 - \lambda)=1\\\lambda-(1 - \lambda)=0\\-\lambda+(1 - \lambda)=0\end{cases}$，解第一个方程$2\lambda+(1 - \lambda)=1$，即$\lambda + 1 = 1$，得$\lambda=\frac{1}{3}$，所以$C = \frac{1}{3}A+\frac{2}{3}B$；
    $\begin{cases}2\mu+(1 - \mu)=1\\\mu-(1 - \mu)=5\\-\mu+(1 - \mu)=-5\end{cases}$，解第二个方程$\mu-(1 - \mu)=5$，即$2\mu - 1 = 5$，$2\mu = 6$，得$\mu = 2$，所以$D = 2A - B$。
  3. 计算交比$(AB,CD)$
    根据交比公式$(AB,CD)=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$（这里$\lambda_1$是$C$关于$A,B$的参数，$\lambda_2$是$D$关于$A,B$的参数），可得$(AB,CD)=\frac{\frac{1}{3}}{- \frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}$。

第3题

  1. 设$P_3$的坐标并根据交比定义列方程
    设$P_3=(x,y,z)$，已知$P_1(1,1,1)$，$P_2(1,-1,1)$，$P_4(1,0,1)$，且$(P_1P_2,P_3P_4)=2$。
    根据交比定义$(P_1P_2,P_3P_4)=\frac{\overrightarrow{P_1P_3}\cdot\overrightarrow{P_2P_4}}{\overrightarrow{P_1P_4}\cdot\overrightarrow{P_2P_3}}$。
    先求向量$\overrightarrow{P_1P_2}=(1 - 1,-1 - 1,1 - 1)=(0,-2,0)$，$\overrightarrow{P_1P_3}=(x - 1,y - 1,z - 1)$，$\overrightarrow{P_2P_3}=(x - 1,y + 1,z - 1)$，$\overrightarrow{P_1P_4}=(1 - 1,0 - 1,1 - 1)=(0,-1,0)$，$\overrightarrow{P_2P_4}=(1 - 1,0 + 1,1 - 1)=(0,1,0)$。
    则$\overrightarrow{P_1P_3}\cdot\overrightarrow{P_2P_4}=(x - 1)\times0+(y - 1)\times1+(z - 1)\times0=y - 1$，$\overrightarrow{P_1P_4}\cdot\overrightarrow{P_2P_3}=(0)\times(x - 1)+(-1)\times(y + 1)+(0)\times(z - 1)=-(y + 1)$。
    所以$\frac{y - 1}{-(y + 1)} = 2$。
  2. 解方程求$y$的值
    由$\frac{y - 1}{-(y + 1)} = 2$，可得$y - 1=-2(y + 1)$，展开得$y - 1=-2y - 2$，移项得$y + 2y=-2 + 1$，即$3y=-1$，解得$y = 1$。
    因为$P_1$，$P_2$，$P_3$，$P_4$共线，且$P_1$，$P_2$，$P_4$的$x = 1$，$z = 1$，所以$P_3$的$x = 1$，$z = 1$，故$P_3=(1,1,1)$。