设方程 xy^2 - e^2xy + 2x - y = 3 确定隐函数 y = y(x), 求 y'(0).

我们已知方程：

$xy^2 - e^{2xy} + 2x - y = 3$

这个方程隐式地定义了 $ y $ 为 $ x $ 的函数，即 $ y = y(x) $。我们的目标是求导数 $ y'(0) $，也就是在 $ x = 0 $ 处的导数。

第一步：代入 $ x = 0 $，求出对应的 $ y(0) $

将 $ x = 0 $ 代入原方程：

$0 \cdot y^2 - e^{2 \cdot 0 \cdot y} + 2 \cdot 0 - y = 3 \Rightarrow -e^0 - y = 3 \Rightarrow -1 - y = 3 \Rightarrow y = -4$

所以，当 $ x = 0 $ 时，$ y = -4 $，即 $ y(0) = -4 $。

第二步：对方程两边关于 $ x $ 求导（隐函数求导）

原方程：
$xy^2 - e^{2xy} + 2x - y = 3$

对两边关于 $ x $ 求导，注意 $ y $ 是 $ x $ 的函数，使用链式法则和乘积法则。

逐项求导：

1. $ \frac{d}{dx}(xy^2) $

使用乘积法则：
$= \frac{d}{dx}(x) \cdot y^2 + x \cdot \frac{d}{dx}(y^2) = 1 \cdot y^2 + x \cdot 2y \cdot y' = y^2 + 2xyy'$

2. $ \frac{d}{dx}(-e^{2xy}) $

先求指数部分 $ 2xy $ 的导数：
$\frac{d}{dx}(2xy) = 2y + 2x y'$
所以：
$\frac{d}{dx}(-e^{2xy}) = -e^{2xy} \cdot (2y + 2x y') = -2e^{2xy}(y + x y')$

3. $ \frac{d}{dx}(2x) = 2 $

4. $ \frac{d}{dx}(-y) = -y' $

5. 右边 $ \frac{d}{dx}(3) = 0 $

将所有部分相加：

$\left( y^2 + 2xyy' \right) + \left( -2e^{2xy}(y + x y') \right) + 2 - y' = 0$

整理这个方程：

$y^2 + 2xyy' - 2e^{2xy}(y + x y') + 2 - y' = 0$

展开括号：

$y^2 + 2xyy' - 2e^{2xy}y - 2e^{2xy}x y' + 2 - y' = 0$

将含 $ y' $ 的项合并，其余项移到右边：

含 $ y' $ 的项：
$2xyy' - 2x e^{2xy} y' - y' = y' \left( 2xy - 2x e^{2xy} - 1 \right)$

其余项：
$y^2 - 2y e^{2xy} + 2$

所以方程变为：

$y' \left( 2xy - 2x e^{2xy} - 1 \right) = - \left( y^2 - 2y e^{2xy} + 2 \right)$

解出 $ y' $：

$y' = \frac{ - (y^2 - 2y e^{2xy} + 2) }{ 2xy - 2x e^{2xy} - 1 }$

第三步：代入 $ x = 0, y = -4 $

先计算分子和分母。

分子：

$- \left( (-4)^2 - 2(-4) e^{2 \cdot 0 \cdot (-4)} + 2 \right) = - \left( 16 + 8 \cdot e^0 + 2 \right) = - (16 + 8 + 2) = -26$

分母：

$2 \cdot 0 \cdot (-4) - 2 \cdot 0 \cdot e^{0} - 1 = 0 - 0 - 1 = -1$

所以：

$y'(0) = \frac{-26}{-1} = 26$

最终答案：

$\boxed{y'(0) = 26}$