24.某工厂生产甲、乙两种产品的产量各为x,y,其成本函数为 (x,y)=(x)^2+2xy+-|||-3y^2 由市场调查得知,其单价与产量分别有如下关系: _(1)=36-3x, _(2)=40-5y, 试求甲、-|||-乙两种产品产量各为多少时总利润最大?并求出最大利润.

步骤 1：确定总利润函数
总利润函数 $P(x,y)$ 可以表示为总收入减去总成本。总收入为两种产品的单价乘以各自的产量，即 $P(x,y) = x(36-3x) + y(40-5y) - (x^2 + 2xy + 3y^2)$。

步骤 2：化简总利润函数
化简总利润函数，得到 $P(x,y) = 36x - 3x^2 + 40y - 5y^2 - x^2 - 2xy - 3y^2 = -4x^2 - 2xy - 8y^2 + 36x + 40y$。

步骤 3：求解极值点
为了找到总利润的最大值，我们需要对 $P(x,y)$ 求偏导数并令其等于零。首先对 $x$ 求偏导数得到 $\frac{\partial P}{\partial x} = -8x - 2y + 36$，对 $y$ 求偏导数得到 $\frac{\partial P}{\partial y} = -2x - 16y + 40$。令这两个偏导数等于零，得到方程组：
$$
\begin{cases}
-8x - 2y + 36 = 0 \\
-2x - 16y + 40 = 0
\end{cases}
$$
解这个方程组，得到 $x = 4$ 和 $y = 2$。

步骤 4：验证极值点
为了验证 $(4,2)$ 是极大值点，我们需要计算二阶偏导数并使用海森矩阵。二阶偏导数为 $\frac{\partial^2 P}{\partial x^2} = -8$，$\frac{\partial^2 P}{\partial y^2} = -16$，$\frac{\partial^2 P}{\partial x \partial y} = -2$。海森矩阵为
$$
H = \begin{bmatrix}
-8 & -2 \\
-2 & -16
\end{bmatrix}
$$
海森矩阵的行列式为 $det(H) = (-8)(-16) - (-2)(-2) = 128 - 4 = 124 > 0$，且 $\frac{\partial^2 P}{\partial x^2} = -8 < 0$，因此 $(4,2)$ 是极大值点。

步骤 5：计算最大利润
将 $x = 4$ 和 $y = 2$ 代入总利润函数 $P(x,y)$，得到最大利润 $P(4,2) = -4(4)^2 - 2(4)(2) - 8(2)^2 + 36(4) + 40(2) = -64 - 16 - 32 + 144 + 80 = 112$。