题目
把对坐标的曲面积分-|||-iint P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dx+R(x,y,z)dxdy-|||-化成对面积的曲面积分,其中:-|||-(2)∑是抛物面 =8-((x)^2+(y)^2) 在xOy面上方的部分的上侧.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲面方程和法向量
给定的曲面方程为 $z=8-(x^2+y^2)$，这是一个抛物面。由于曲面在xOy面上方的部分取上侧，我们需要确定该曲面在任一点(x,y,z)处的单位法向量。首先，计算曲面的偏导数：
$z_x = -2x$，$z_y = -2y$。
步骤 2：计算单位法向量
根据曲面的偏导数，单位法向量为：
$n = \dfrac{1}{\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}}(-z_x, -z_y, 1)$
代入 $z_x$ 和 $z_y$ 的值，得到：
$n = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}}(2x, 2y, 1)$
步骤 3：将对坐标的曲面积分转换为对面积的曲面积分
根据单位法向量，将对坐标的曲面积分转换为对面积的曲面积分：
$\iint_{\sum} P(x,y,z)dydz + Q(x,y,z)dzdx + R(x,y,z)dxdy$
$=\iint_{\sum} \dfrac{2xP + 2yQ + R}{\sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}}dS$
给定的曲面方程为 $z=8-(x^2+y^2)$，这是一个抛物面。由于曲面在xOy面上方的部分取上侧，我们需要确定该曲面在任一点(x,y,z)处的单位法向量。首先，计算曲面的偏导数：
$z_x = -2x$，$z_y = -2y$。
步骤 2：计算单位法向量
根据曲面的偏导数，单位法向量为：
$n = \dfrac{1}{\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}}(-z_x, -z_y, 1)$
代入 $z_x$ 和 $z_y$ 的值，得到：
$n = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}}(2x, 2y, 1)$
步骤 3：将对坐标的曲面积分转换为对面积的曲面积分
根据单位法向量，将对坐标的曲面积分转换为对面积的曲面积分：
$\iint_{\sum} P(x,y,z)dydz + Q(x,y,z)dzdx + R(x,y,z)dxdy$
$=\iint_{\sum} \dfrac{2xP + 2yQ + R}{\sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}}dS$