求下列微分方程的通解: (1)y′′+y′-2y=0; (2)y′′-4y′=0; (3)y′′+y=0; (4)y′′+6y′+13y=0; (5)dfrac ({d)^2x}(d{t)^2}-20dfrac (dx)(dt)+25x=0; (6)y′′-4y′+5y=0; (7)y(4)-y=0; (8)y(4)+2y′′+y=0; (9)y(4)-2y′′′+y′′=0; (10)y(4)+5y′′-36=0.

解(1) 微分方程的特征方程为

       r2+r-2=0, 即(r+2)(r-1)=0,

其根为r1=1, r2=-2, 故微分方程的通解为

       y=C1ex+C2e-2x.

    (2) 微分方程的特征方程为

       r2-4r=0, 即r(r-4)=0,

其根为r1=0, r2=4, 故微分方程的通解为

       y=C1+C2e4x.

    (3) 微分方程的特征方程为

       r2+1=0,

其根为r1=i, r2=-i, 故微分方程的通解为

       y=C1cos x+C2sin x.

    (4) 微分方程的特征方程为

       r2+6r+13=0,

其根为r1=-3-2i, r2=-3+2i, 故微分方程的通解为

       y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x).

    (5) 微分方程的特征方程为

       4r2-20r+25=0, 即(2x-5)2=0,

其根为, 故微分方程的通解为

       , 即.

    (6) 微分方程的特征方程为

       r2-4r+5=0,

其根为r1=2-i, r2=2+i, 故微分方程的通解为

       y=e2x(C1cos x+C2sin x).

    (7) 微分方程的特征方程为

       r4-1=0, 即(r-1)(r+1)(r2+1)=0

其根为r1=1, r2=-1, r1=-i, r2=i, 故微分方程的通解为

       y=C1ex+C2e-x+C3cos x+C4sin x.

    (8) 微分方程的特征方程为

       r4+r2+1=0, 即(r2+1)2=0,

其根为r1=r2=-i, r3=r4=i, 故微分方程的通解为

       y=(C1+C2x)cos x+(C3+C4x)sin x.

    (9) 微分方程的特征方程为

       r4-2r3+r2=0, 即r2(r-1)2=0,

其根为r1=r2=0, r3=r4=1, 故微分方程的通解为

       y=C1+C2x+C3ex+C4xex.

    (10) 微分方程的特征方程为

       r4+5r2-36=0,

其根为r1=2, r2=-2, r3=3i, r4=-3i, 故微分方程的通解为

       y=C1e2x+C2e-2x+ C3cos3x+C4sin3x.