(1)设 ((x)^2+1)=(x)^4+(x)^2+1, 则 '((x)^2+1)= __ .

考查要点：本题主要考查函数的复合关系及导数的计算，需要学生通过换元法将复合函数转化为基本初等函数，再利用导数的四则运算法则求解。

解题核心思路：

1. 换元法：令$t = x^2 + 1$，将原函数$f(x^2 + 1)$转化为关于$t$的表达式$f(t)$。
2. 化简表达式：将$x^2$用$t - 1$替换，展开并整理得到$f(t)$的显式表达式。
3. 求导：对$f(t)$关于$t$求导，得到$f'(t)$，最后将$t = x^2 + 1$代入即可。

破题关键点：

• 正确换元：通过$t = x^2 + 1$消去原函数中的$x$，将复合函数转化为单变量函数。
• 准确展开与合并同类项：确保化简过程中代数运算无误。
• 导数计算：对多项式函数求导时注意系数和符号。

步骤1：换元法引入变量
令$t = x^2 + 1$，则$x^2 = t - 1$。原函数可表示为：
$f(t) = x^4 + x^2 + 1$

步骤2：用$t$表示$x^4$和$x^2$
将$x^4$写成$(x^2)^2$，代入$x^2 = t - 1$：
$x^4 = (t - 1)^2$
因此，原函数变为：
$f(t) = (t - 1)^2 + (t - 1) + 1$

步骤3：展开并化简
展开$(t - 1)^2$：
$(t - 1)^2 = t^2 - 2t + 1$
代入并合并同类项：
$\begin{aligned}f(t) &= t^2 - 2t + 1 + (t - 1) + 1 \\&= t^2 - 2t + 1 + t - 1 + 1 \\&= t^2 - t + 1\end{aligned}$

步骤4：对$t$求导
对$f(t) = t^2 - t + 1$求导：
$f'(t) = 2t - 1$

步骤5：代入$t = x^2 + 1$
将$t$替换为$x^2 + 1$：
$f'(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1) - 1 = 2x^2 + 2 - 1 = 2x^2 + 1$