试证收敛数列必有上确界和下确界,趋于+∞的数列必有下确界,趋于-∞的数列必有上确界

步骤 1：证明收敛数列必有上确界和下确界
- 收敛数列的定义是：存在一个实数L，对于任意的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，|xn-L|<ε。
- 由收敛数列的定义，可以推出收敛数列是有界的。即存在实数M，使得对于所有的n，|xn|≤M。
- 由于数列是有界的，根据确界原理，有界数列必有上确界和下确界。
步骤 2：证明趋于+∞的数列必有下确界
- 趋于+∞的数列的定义是：对于任意的正数M，存在一个正整数N，使得当n>N时，xn>M。
- 由于数列趋于+∞，则存在一个正整数N，使得当n>N时，xn>M。因此，x1,x2,...,xN中最小者即为数列的下确界。
步骤 3：证明趋于-∞的数列必有上确界
- 趋于-∞的数列的定义是：对于任意的负数M，存在一个正整数N，使得当n>N时，xn- 由于数列趋于-∞，则存在一个正整数N，使得当n>N时，xn