题目
求曲线 {x^2+y^2+z^2=4 x+y+z=0=4 上部分曲面在平面 xoy 上的影子(）。 A. {y^2+x^2+(x+y)^2=4 x=0.B. {y^2+z^2+(z+y)^2=4 x=0.C. {y^2+z^2+(z+y)^2=4 x=0.D. {x^2+(1-x-z)^2+z^2=9 x=0.
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在平面 $yoz$ 上的投影方程(）；平面 $z=1$ 切得球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 上部分曲面在平面 $xoy$ 上的影子(）。
- A. $\left\{\begin{array}{l}y^{2}+x^{2}+(x+y)^{2}=4 \\ x=0\end{array}\right.; \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=3 \\ z=0\end{array}\right.$
- B. $\left\{\begin{array}{l}y^{2}+z^{2}+(z+y)^{2}=4 \\ x=0\end{array}\right.; \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2} \leq 3 \\ z=0\end{array}\right.$
- C. $\left\{\begin{array}{l}y^{2}+z^{2}+(z+y)^{2}=4 \\ x=0\end{array}\right.; \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=3 \\ z=0\end{array}\right.$
- D. $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+(1-x-z)^{2}+z^{2}=9 \\ x=0\end{array}\right.; \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=5 \\ z=0\end{array}\right.$
题目解答
答案
1. **曲线在平面 $yoz$ 上的投影方程**
消去 $x$：由 $x + y + z = 0$ 得 $x = -y - z$，代入 $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ 得
\[
(-y - z)^2 + y^2 + z^2 = 4 \implies y^2 + z^2 + (y + z)^2 = 4
\]
投影方程为
\[
\left\{\begin{matrix}y^2 + z^2 + (y + z)^2 = 4 \\ x = 0\end{matrix}\right.
\]
2. **平面 $z=1$ 切球面在平面 $xoy$ 上的投影**
代入 $z=1$：
\[
x^2 + y^2 + 1^2 = 4 \implies x^2 + y^2 = 3
\]
投影区域为
\[
\left\{\begin{matrix}x^2 + y^2 \leq 3 \\ z = 0\end{matrix}\right.
\]
**答案：**
\[
\boxed{B}
\]