设三阶行列式 D 的第一行元素为 1,2,3，第二行元素的代数余子式分别为 a+1, a-2, a-1，则 a= ( ).A. 0B. 2C. 1D. 3

我们来逐步分析并解答这个三阶行列式的问题。

题目已知：

设三阶行列式 $ D $ 的：

• 第一行元素为：$ 1, 2, 3 $
• 第二行元素的代数余子式分别为：$ a+1, a-2, a-1 $

要求求出 $ a = ? $

选项为：A. 0，B. 2，C. 1，D. 3

第一步：理解代数余子式的性质

我们记三阶行列式为：

$D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \\\end{vmatrix}$

即第一行是 $ 1, 2, 3 $，第二行是未知的 $ b_1, b_2, b_3 $，第三行也是未知的。

但我们不关心第二行具体是什么，而是知道第二行每个元素对应的代数余子式。

记 $ A_{21}, A_{22}, A_{23} $ 为第二行各元素的代数余子式。

题目告诉我们：

$A_{21} = a+1,\quad A_{22} = a-2,\quad A_{23} = a-1$

第二步：利用行列式展开的性质

一个重要性质是：

> 行列式按某一行（列）展开：
> $> D = b_1 A_{21} + b_2 A_{22} + b_3 A_{23} >$
> 即第二行元素乘以其对应的代数余子式之和。

但我们不知道 $ b_1, b_2, b_3 $，所以不能直接用这个展开来算 $ D $。

但是，还有一个非常关键的性质：

> 某一行的元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积之和为 0。

即：

> 第 $ i $ 行元素与第 $ j $ 行代数余子式的乘积之和，当 $ i \ne j $ 时，结果为 0。

特别地：

> 第一行元素 × 第二行对应代数余子式之和 = 0

即：
$1 \cdot A_{21} + 2 \cdot A_{22} + 3 \cdot A_{23} = 0$

这是解题的关键！

因为第一行和第二行不同，所以这个“交叉展开”等于 0。

第三步：代入已知的代数余子式

将 $ A_{21} = a+1 $, $ A_{22} = a-2 $, $ A_{23} = a-1 $ 代入：

$1 \cdot (a+1) + 2 \cdot (a-2) + 3 \cdot (a-1) = 0$

计算左边：

$(a+1) + 2(a - 2) + 3(a - 1) = a + 1 + 2a - 4 + 3a - 3 = (a + 2a + 3a) + (1 - 4 - 3) = 6a - 6$

令其等于 0：

$6a - 6 = 0 \Rightarrow 6a = 6 \Rightarrow a = 1$

第四步：得出答案

所以，$ a = 1 $

对应选项是：C. 1

✅ 最终答案：

$\boxed{C. 1}$