题目
把一些橙和柑分装入袋，如果每袋6个橙、5个柑，橙分完了还剩3个柑；如果每袋8个柑、6个橙，柑分完了还剩18个橙。橙和柑一共有多少个？
把一些橙和柑分装入袋，如果每袋6个橙、5个柑，橙分完了还剩3个柑；如果每袋8个柑、6个橙，柑分完了还剩18个橙。橙和柑一共有多少个？
题目解答
答案
我们来一步一步地分析并解决这个问题。
---
### **题目回顾：**
把一些橙和柑分装入袋：
- **第一种装法**：每袋装 **6个橙、5个柑**，橙分完了，还剩 **3个柑**。
- **第二种装法**：每袋装 **6个橙、8个柑**，柑分完了，还剩 **18个橙**。
求：橙和柑一共有多少个？
---
### **第一步：设变量**
设：
- 橙的总数为 $ x $ 个，
- 柑的总数为 $ y $ 个。
---
### **第二步：根据第一种装法列方程**
每袋装 6 个橙、5 个柑，橙分完，说明橙刚好装完，袋数是：
$$
\frac{x}{6}
$$
那么柑用了：
$$
5 \times \frac{x}{6} = \frac{5x}{6}
$$
还剩 3 个柑，说明：
$$
y = \frac{5x}{6} + 3 \tag{1}
$$
---
### **第三步：根据第二种装法列方程**
每袋装 6 个橙、8 个柑，柑分完，说明柑刚好装完，袋数是：
$$
\frac{y}{8}
$$
那么橙用了：
$$
6 \times \frac{y}{8} = \frac{6y}{8} = \frac{3y}{4}
$$
还剩 18 个橙，说明：
$$
x = \frac{3y}{4} + 18 \tag{2}
$$
---
### **第四步：联立方程求解**
我们有：
- (1)：$ y = \frac{5x}{6} + 3 $
- (2)：$ x = \frac{3y}{4} + 18 $
我们把 (1) 代入 (2)：
$$
x = \frac{3}{4} \left( \frac{5x}{6} + 3 \right) + 18
$$
先化简括号内：
$$
x = \frac{3}{4} \cdot \frac{5x}{6} + \frac{3}{4} \cdot 3 + 18
$$
$$
x = \frac{15x}{24} + \frac{9}{4} + 18
$$
$$
x = \frac{5x}{8} + \frac{9}{4} + 18
$$
把右边合并：
$$
x = \frac{5x}{8} + \frac{81}{4}
$$
两边同时乘以 8 消除分母：
$$
8x = 5x + 162
$$
$$
3x = 162 \Rightarrow x = 54
$$
代入 (1) 求 $ y $：
$$
y = \frac{5 \times 54}{6} + 3 = 45 + 3 = 48
$$
---
### **第五步：求总数**
橙和柑一共有：
$$
x + y = 54 + 48 = \boxed{102}
$$
---
### **答：橙和柑一共有 $ \boxed{102} $ 个。**
解析
考查要点：本题属于二元一次方程组的应用，主要考查学生根据实际问题建立方程并求解的能力，以及对题目中数量关系的理解。
解题核心思路：
- 设定变量：设橙和柑的总数分别为$x$和$y$。
- 根据两种装法建立方程：
- 第一种装法中，橙分完说明袋数为$\frac{x}{6}$，柑剩余3个，由此得到方程$y = \frac{5x}{6} + 3$。
- 第二种装法中，柑分完说明袋数为$\frac{y}{8}$，橙剩余18个，由此得到方程$x = \frac{3y}{4} + 18$。
- 联立方程求解：通过代入消元法解方程组，最终求出$x$和$y$的值。
破题关键点：
- 明确袋数与剩余量的关系，通过分装方式确定袋数，再结合剩余量建立方程。
- 注意单位统一，两种装法的袋数可能不同，需通过变量关联。
设定变量
设橙的总数为$x$个，柑的总数为$y$个。
根据第一种装法列方程
- 每袋装6个橙，橙分完，袋数为$\frac{x}{6}$。
- 每袋装5个柑，共用了$5 \cdot \frac{x}{6} = \frac{5x}{6}$个柑。
- 剩余3个柑，因此柑总数为：
$y = \frac{5x}{6} + 3 \tag{1}$
根据第二种装法列方程
- 每袋装8个柑，柑分完，袋数为$\frac{y}{8}$。
- 每袋装6个橙，共用了$6 \cdot \frac{y}{8} = \frac{3y}{4}$个橙。
- 剩余18个橙，因此橙总数为：
$x = \frac{3y}{4} + 18 \tag{2}$
联立方程求解
将方程(1)代入方程(2)：
$x = \frac{3}{4} \left( \frac{5x}{6} + 3 \right) + 18$
展开并化简：
$x = \frac{15x}{24} + \frac{9}{4} + 18 = \frac{5x}{8} + \frac{81}{4}$
移项得：
$\frac{3x}{8} = \frac{81}{4} \quad \Rightarrow \quad x = 54$
将$x=54$代入方程(1)：
$y = \frac{5 \cdot 54}{6} + 3 = 45 + 3 = 48$
求总数
橙和柑的总数为：
$x + y = 54 + 48 = 102$