题目
6.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行和第j行对换后得到矩阵B,证明-|||-B可逆,并求 ^-1.
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明 B 可逆
由于 A 是 n 阶可逆矩阵，所以 $|A| \neq 0$。将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到矩阵 B，根据行列式的性质，交换两行会改变行列式的符号，因此 $|B| = -|A| \neq 0$。由于 B 的行列式不为零，所以 B 可逆。
步骤 2：求 ${AB}^{-1}$
由于 B 是通过交换 A 的第 i 行和第 j 行得到的，可以表示为 B = E(i,j)A，其中 E(i,j) 是将单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵。因此，${AB}^{-1} = A[B^{-1}] = A[(E(i,j)A)^{-1}] = A[A^{-1}E^{-1}(i,j)] = E^{-1}(i,j)$。由于 E(i,j) 是将单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵，所以 E^{-1}(i,j) 也是将单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵，即 E^{-1}(i,j) = E(i,j)。
由于 A 是 n 阶可逆矩阵，所以 $|A| \neq 0$。将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到矩阵 B，根据行列式的性质，交换两行会改变行列式的符号，因此 $|B| = -|A| \neq 0$。由于 B 的行列式不为零，所以 B 可逆。
步骤 2：求 ${AB}^{-1}$
由于 B 是通过交换 A 的第 i 行和第 j 行得到的，可以表示为 B = E(i,j)A，其中 E(i,j) 是将单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵。因此，${AB}^{-1} = A[B^{-1}] = A[(E(i,j)A)^{-1}] = A[A^{-1}E^{-1}(i,j)] = E^{-1}(i,j)$。由于 E(i,j) 是将单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵，所以 E^{-1}(i,j) 也是将单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵，即 E^{-1}(i,j) = E(i,j)。