6.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=}e^-(x+y),&x>0,y>0,0,&其他, 求cov(X,Y),ρXY.

解： 1. 求边缘概率密度函数： $f_X(x) = \int_0^\infty e^{-(x+y)} \, dy = e^{-x}$（$x > 0$）， $f_Y(y) = \int_0^\infty e^{-(x+y)} \, dx = e^{-y}$（$y > 0$）。 2. 计算期望： $E[X] = \int_0^\infty x e^{-x} \, dx = 1$， $E[Y] = \int_0^\infty y e^{-y} \, dy = 1$。 3. 计算方差： $E[X^2] = \int_0^\infty x^2 e^{-x} \, dx = 2$， $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 1$， 同理，$\text{Var}(Y) = 1$。 4. 计算协方差： $E[XY] = \int_0^\infty \int_0^\infty xy e^{-(x+y)} \, dx \, dy = 1$， $\text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0$。 5. 计算相关系数： $\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\text{Var}(X) \text{Var}(Y)}} = 0$。 答案： $\boxed{ \begin{array}{ll} \text{Cov}(X, Y) = 0, \\ \rho_{XY} = 0. \end{array} }$