设A为3阶实对称矩阵,向量 (xi )_(1)=((a,-2,1))^7 是方程组 Ax=0 的解, (xi )_(2)=((a,a,-3))^7 是方程组 (A-E)x=0-|||-3 1 2-|||-的解,且B= 1 a -2 是正定矩阵.(1)求参数a;(2)求正交变换 =(p)_(y), 将二次型 =(x)^7Bx-|||-2 -2 9-|||-化为标准形; (3)当 'x=2 时,求 =(x)^1Bx 的最大值.

考查要点：本题综合考查实对称矩阵的性质、正定矩阵的判定、二次型的标准形及最值问题。
解题思路：

1. 利用特征向量正交性：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，结合正定矩阵的主子式条件求参数$a$。
2. 正交变换求标准形：对正定矩阵$B$求特征值，构造正交矩阵$P$，将二次型化为标准形。
3. 最值问题：二次型在约束条件下的最大值由最大特征值决定。

(1) 求参数$a$

特征向量正交性

$\xi_1 = (a, -2, 1)$是$A\xi=0$的解，对应特征值$0$；$\xi_2 = (a, a, -3)$是$(A-E)\xi=0$的解，对应特征值$1$。因$A$为实对称矩阵，不同特征值的特征向量正交，故$\xi_1 \cdot \xi_2 = 0$：
$a \cdot a + (-2) \cdot a + 1 \cdot (-3) = a^2 - 2a - 3 = 0 \implies a = 3 \text{ 或 } a = -1.$

正定矩阵条件

矩阵$B$正定，其各阶主子式需均大于$0$：

• 一阶主子式：$3 > 0$，恒成立。
• 二阶主子式：$\begin{vmatrix}3 & 1 \\ 1 & a\end{vmatrix} = 3a - 1 > 0 \implies a > \frac{1}{3}$。
• 三阶行列式：$\det(B) = 23a - 29 > 0 \implies a > \frac{29}{23} \approx 1.26$。

结合$a = 3$或$a = -1$，仅$a = 3$满足所有条件。

(2) 正交变换求标准形

特征值计算

当$a = 3$时，$B = \begin{pmatrix}3 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 9\end{pmatrix}$。解特征方程$\det(B - \lambda I) = 0$，得特征值$\lambda_1 = 10$，$\lambda_2 = 4$，$\lambda_3 = 1$。

标准形

正交变换$x = Py$下，二次型$f = x^TBx$化为：
$f = 10y_1^2 + 4y_2^2 + y_3^2.$

(3) 最大值求解

极值分析

在约束$x^Tx = 2$下，$f$的最大值为最大特征值乘以约束条件值：
$f_{\text{max}} = \lambda_{\text{max}} \cdot 2 = 10 \cdot 2 = 20.$