题目
5. 已知alpha_{1),alpha_(2)}是R^2的一组基，求从基alpha_(1)+2alpha_(2),3alpha_(1)+5alpha_(2)到基-alpha_(1)+alpha_(2),alpha_(2)的过渡矩阵。
5. 已知$\{\alpha_{1},\alpha_{2}\}$是$R^{2}$的一组基，求从基$\alpha_{1}+2\alpha_{2},3\alpha_{1}+5\alpha_{2}$到基$-\alpha_{1}+\alpha_{2},\alpha_{2}$的过渡矩阵。
题目解答
答案
为了找到从基$\alpha_1 + 2\alpha_2, 3\alpha_1 + 5\alpha_2$到基$-\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_2$的过渡矩阵，我们需要将新基中的每个向量表示为旧基中向量的线性组合。设旧基为$\mathcal{B} = \{\alpha_1 + 2\alpha_2, 3\alpha_1 + 5\alpha_2\}$，新基为$\mathcal{C} = \{-\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_2\}$。
我们需要找到系数$a_{ij}$使得：
\[
-\alpha_1 + \alpha_2 = a_{11}(\alpha_1 + 2\alpha_2) + a_{12}(3\alpha_1 + 5\alpha_2)
\]
\[
\alpha_2 = a_{21}(\alpha_1 + 2\alpha_2) + a_{22}(3\alpha_1 + 5\alpha_2)
\]
首先，让我们表示$-\alpha_1 + \alpha_2$：
\[
-\alpha_1 + \alpha_2 = a_{11}(\alpha_1 + 2\alpha_2) + a_{12}(3\alpha_1 + 5\alpha_2) = (a_{11} + 3a_{12})\alpha_1 + (2a_{11} + 5a_{12})\alpha_2
\]
通过比较$\alpha_1$和$\alpha_2$的系数，我们得到方程组：
\[
a_{11} + 3a_{12} = -1
\]
\[
2a_{11} + 5a_{12} = 1
\]
我们可以通过消元法解这个方程组。将第一个方程乘以2：
\[
2a_{11} + 6a_{12} = -2
\]
从第二个方程中减去这个：
\[
(2a_{11} + 5a_{12}) - (2a_{11} + 6a_{12}) = 1 - (-2)
\]
\[
-a_{12} = 3
\]
\[
a_{12} = -3
\]
将$a_{12} = -3$代回第一个方程：
\[
a_{11} + 3(-3) = -1
\]
\[
a_{11} - 9 = -1
\]
\[
a_{11} = 8
\]
因此，我们有$a_{11} = 8$和$a_{12} = -3$。现在，让我们表示$\alpha_2$：
\[
\alpha_2 = a_{21}(\alpha_1 + 2\alpha_2) + a_{22}(3\alpha_1 + 5\alpha_2) = (a_{21} + 3a_{22})\alpha_1 + (2a_{21} + 5a_{22})\alpha_2
\]
通过比较$\alpha_1$和$\alpha_2$的系数，我们得到方程组：
\[
a_{21} + 3a_{22} = 0
\]
\[
2a_{21} + 5a_{22} = 1
\]
我们可以通过消元法解这个方程组。将第一个方程乘以2：
\[
2a_{21} + 6a_{22} = 0
\]
从第二个方程中减去这个：
\[
(2a_{21} + 5a_{22}) - (2a_{21} + 6a_{22}) = 1 - 0
\]
\[
-a_{22} = 1
\]
\[
a_{22} = -1
\]
将$a_{22} = -1$代回第一个方程：
\[
a_{21} + 3(-1) = 0
\]
\[
a_{21} - 3 = 0
\]
\[
a_{21} = 3
\]
因此，我们有$a_{21} = 3$和$a_{22} = -1$。从基$\alpha_1 + 2\alpha_2, 3\alpha_1 + 5\alpha_2$到基$-\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_2$的过渡矩阵是：
\[
\begin{pmatrix}
8 & 3 \\
-3 & -1
\end{pmatrix}
\]
因此，答案是：
\[
\boxed{\begin{pmatrix}
8 & 3 \\
-3 & -1
\end{pmatrix}}
\]