题目
求下列极限：(1)lim _(xarrow 0)((int )_(0)^xcos (t)^2dt)/(x)；(2)underset(xto 0)(mathrm{lim)}dfrac({({int )_(0)^x(e)^(t^2)dt)}^2}({int )_(0)^xt(e)^2(t^2)dt}.
求下列极限：
$(1)\lim _{x\rightarrow 0}\frac {{\int }_{0}^{x}\cos {t}^{2}dt}{x}$；
$\left(2\right)\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\dfrac{{\left({\int }_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt\right)}^{2}}{{\int }_{0}^{x}t{e}^{2{t}^{2}}dt}$.
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用洛必达法则
对于极限 $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {{\int }_{0}^{x}\cos {t}^{2}dt}{x}$，由于分子和分母在 $x=0$ 时都为0，可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果 $\lim _{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$ 形式为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$，则 $\lim _{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$，如果后者存在或为无穷大。
步骤 2：计算导数
对于 $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {{\int }_{0}^{x}\cos {t}^{2}dt}{x}$，分子的导数是 $\cos {x}^{2}$，分母的导数是 $1$。因此，$\lim _{x\rightarrow 0}\frac {{\int }_{0}^{x}\cos {t}^{2}dt}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac {\cos {x}^{2}}{1}$。
步骤 3：计算极限
$\lim _{x\rightarrow 0}\frac {\cos {x}^{2}}{1}=\cos {0}^{2}=1$。
步骤 4：应用洛必达法则
对于极限 $\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\dfrac{{\left({\int }_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt\right)}^{2}}{{\int }_{0}^{x}t{e}^{2{t}^{2}}dt}$，同样应用洛必达法则。分子的导数是 $2{e}^{x^{2}}{\int }_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt$，分母的导数是 $x{e}^{2x^{2}}$。
步骤 5：计算极限
$\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\dfrac{{\left({\int }_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt\right)}^{2}}{{\int }_{0}^{x}t{e}^{2{t}^{2}}dt}=\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\dfrac{2{e}^{x^{2}}{\int }_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt}{x{e}^{2x^{2}}}=\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\dfrac{2{\int }_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt}{x{e}^{x^{2}}}=\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\dfrac{2{e}^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}=2$。
对于极限 $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {{\int }_{0}^{x}\cos {t}^{2}dt}{x}$，由于分子和分母在 $x=0$ 时都为0，可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果 $\lim _{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$ 形式为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$，则 $\lim _{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$，如果后者存在或为无穷大。
步骤 2：计算导数
对于 $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {{\int }_{0}^{x}\cos {t}^{2}dt}{x}$，分子的导数是 $\cos {x}^{2}$，分母的导数是 $1$。因此，$\lim _{x\rightarrow 0}\frac {{\int }_{0}^{x}\cos {t}^{2}dt}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac {\cos {x}^{2}}{1}$。
步骤 3：计算极限
$\lim _{x\rightarrow 0}\frac {\cos {x}^{2}}{1}=\cos {0}^{2}=1$。
步骤 4：应用洛必达法则
对于极限 $\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\dfrac{{\left({\int }_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt\right)}^{2}}{{\int }_{0}^{x}t{e}^{2{t}^{2}}dt}$，同样应用洛必达法则。分子的导数是 $2{e}^{x^{2}}{\int }_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt$，分母的导数是 $x{e}^{2x^{2}}$。
步骤 5：计算极限
$\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\dfrac{{\left({\int }_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt\right)}^{2}}{{\int }_{0}^{x}t{e}^{2{t}^{2}}dt}=\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\dfrac{2{e}^{x^{2}}{\int }_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt}{x{e}^{2x^{2}}}=\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\dfrac{2{\int }_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt}{x{e}^{x^{2}}}=\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\dfrac{2{e}^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}=2$。