题目

7 (10分) 求初值问题{}x^2e^yy'+xe^y=1y(1)=0.的解.

7 (10分) 求初值问题$\left\{\begin{matrix}x^{2}e^{y}y'+xe^{y}=1\\y(1)=0\end{matrix}\right.$的解.

题目解答

答案

将原方程改写为： \[ e^y (x^2 y' + x) = 1 \implies x^2 y' + x = e^{-y} \] 令 $u = e^y$，则 $y' = \frac{u'}{u}$，代入得： \[ x^2 \frac{u'}{u} + x = \frac{1}{u} \implies x^2 u' + xu = 1 \] 化简为一阶线性微分方程： \[ u' + \frac{u}{x} = \frac{1}{x^2} \] 积分因子为 $e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$，两边乘以 $x$： \[ (xu)' = \frac{1}{x} \implies xu = \ln x + C \] 解得： \[ u = \frac{\ln x + C}{x} \implies e^y = \frac{\ln x + C}{x} \] 由初值条件 $y(1) = 0$，得 $C = 1$，故解为： \[ \boxed{y = \ln \left( \frac{\ln x + 1}{x} \right)} \]

解析

考查要点：本题主要考查一阶微分方程的解法，特别是通过变量代换将非线性方程转化为线性方程的能力，以及利用积分因子法求解线性微分方程的方法。

解题核心思路：

  1. 观察方程结构，通过变量代换$u = e^y$，将原方程转化为关于$u$的一阶线性微分方程。
  2. 应用积分因子法求解线性方程，得到通解后，利用初始条件$y(1)=0$确定常数。
  3. 回代变量，将解表达为$y$关于$x$的显式形式。

破题关键点：

  • 变量代换的选择：通过$u = e^y$简化方程结构，消除非线性项。
  • 积分因子的正确计算，确保方程转化为恰当方程后正确积分。

步骤1：变量代换简化方程

原方程：
$x^2 e^y y' + x e^y = 1$
两边除以$e^y$得：
$x^2 y' + x = e^{-y}$
令$u = e^y$，则$y' = \frac{u'}{u}$，代入方程：
$x^2 \cdot \frac{u'}{u} + x = \frac{1}{u}$
整理得：
$x^2 u' + x u = 1$

步骤2：转化为线性微分方程

方程改写为：
$u' + \frac{1}{x} u = \frac{1}{x^2}$
积分因子为：
$\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$
两边乘以积分因子：
$x \cdot u' + \frac{x}{x} u = \frac{x}{x^2} \implies (xu)' = \frac{1}{x}$

步骤3：积分求解

积分得：
$xu = \int \frac{1}{x} dx = \ln x + C$
解得：
$u = \frac{\ln x + C}{x}$

步骤4：回代变量并应用初始条件

由$u = e^y$，得：
$e^y = \frac{\ln x + C}{x}$
代入$y(1)=0$：
$e^0 = \frac{\ln 1 + C}{1} \implies 1 = 0 + C \implies C = 1$
最终解为：
$y = \ln \left( \frac{\ln x + 1}{x} \right)$