题目
设正项级数 sum_(n=1)^infty u_n 和 sum_(n=1)^infty v_n 满足 u_n leq v_n (n=1,2,3,...), 下列说法正确的是（）A. 若级数 sum_(n=1)^infty v_n 收敛，则级数 sum_(n=1)^infty u_n 发散B. 若级数 sum_(n=1)^infty v_n 收敛，则级数 sum_(n=1)^infty u_n 收敛C. 若级数 sum_(n=1)^infty v_n 发散，则级数 sum_(n=1)^infty u_n 发散D. 若级数 sum_(n=1)^infty v_n 发散，则级数 sum_(n=1)^infty u_n 收敛
设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 满足 $u_n \leq v_n (n=1,2,3,\cdots)$, 下列说法正确的是（）
A. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散
B. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛
C. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散
D. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛
题目解答
答案
B. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛
解析
步骤 1：理解正项级数的比较测试
正项级数的比较测试指出，如果 $0 \leq u_n \leq v_n$ 对于所有 $n$，那么：
1. 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，那么级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 也收敛。
2. 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，那么级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 也发散。
步骤 2：分析每个选项
A. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。
这个说法是错误的。根据比较测试，如果 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，那么 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 也收敛。
B. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛。
这个说法是正确的。根据比较测试，如果 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，那么 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 也收敛。
C. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。
这个说法是错误的。根据比较测试，如果 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，那么 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 也发散，但逆命题不一定成立。如果 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散，$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 可能收敛也可能发散。
D. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛。
这个说法是错误的。根据比较测试，如果 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散，$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 可能收敛也可能发散。
正项级数的比较测试指出，如果 $0 \leq u_n \leq v_n$ 对于所有 $n$，那么：
1. 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，那么级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 也收敛。
2. 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，那么级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 也发散。
步骤 2：分析每个选项
A. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。
这个说法是错误的。根据比较测试，如果 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，那么 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 也收敛。
B. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛。
这个说法是正确的。根据比较测试，如果 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，那么 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 也收敛。
C. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。
这个说法是错误的。根据比较测试，如果 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，那么 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 也发散，但逆命题不一定成立。如果 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散，$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 可能收敛也可能发散。
D. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛。
这个说法是错误的。根据比较测试，如果 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散，$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 可能收敛也可能发散。