题目
设A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则（A-1+B-1）-1等于（ ）A. A-1+B-1B. A+BC. A（A+B）-1BD. （A+B）-1
设A，B，A+B，A
-1+B
-1均为n阶可逆矩阵，则（A
-1+B
-1）
-1等于（ ）
A. A -1+B -1
B. A+B
C. A（A+B） -1B
D. （A+B） -1
题目解答
答案
C. A（A+B）
-1B
解析
步骤 1：验证选项A
计算（A^{-1}+B^{-1}）•（A^{-1}+B^{-1}）=2E+A^{-1}B^{-1}+B^{-1}A^{-1}≠E，因此选项A错误。
步骤 2：验证选项B
计算（A^{-1}+B^{-1}）（A+B）=2E+A^{-1}B+B^{-1}A≠E，因此选项B错误。
步骤 3：验证选项C
计算（A^{-1}+B^{-1}）[A（A+B）^{-1}B]=（E+B^{-1}A）（A+B）^{-1}B=B^{-1}（A+B）（A+B）^{-1}B=E，因此选项C正确。
步骤 4：验证选项D
计算（A^{-1}+B^{-1}）（A+B）^{-1}=A^{-1}（A+B）^{-1}+B^{-1}（A+B）^{-1}≠E，因此选项D错误。
计算（A^{-1}+B^{-1}）•（A^{-1}+B^{-1}）=2E+A^{-1}B^{-1}+B^{-1}A^{-1}≠E，因此选项A错误。
步骤 2：验证选项B
计算（A^{-1}+B^{-1}）（A+B）=2E+A^{-1}B+B^{-1}A≠E，因此选项B错误。
步骤 3：验证选项C
计算（A^{-1}+B^{-1}）[A（A+B）^{-1}B]=（E+B^{-1}A）（A+B）^{-1}B=B^{-1}（A+B）（A+B）^{-1}B=E，因此选项C正确。
步骤 4：验证选项D
计算（A^{-1}+B^{-1}）（A+B）^{-1}=A^{-1}（A+B）^{-1}+B^{-1}（A+B）^{-1}≠E，因此选项D错误。