[题目]设随机变量X在(0,6)上服从均匀分布,-|||-求方程 ^2+2xx+5x-4=0 有实根的概率

考查要点：本题主要考查二次方程有实根的条件以及均匀分布的概率计算。

解题核心思路：

1. 判别式条件：方程有实根的充要条件是判别式 $D \geq 0$。
2. 求解不等式：将方程的系数代入判别式，解关于 $X$ 的不等式。
3. 几何概率：根据均匀分布的性质，计算满足条件的区间长度占总区间长度的比例。

破题关键点：

• 正确写出判别式：注意系数 $a=1$，$b=2X$，$c=5X-4$。
• 解二次不等式：通过因式分解或求根公式确定解集。
• 区间长度计算：注意 $X$ 的取值范围为 $(0,6)$，需判断端点是否包含在解集中。

步骤1：写出判别式
方程 $x^2 + 2Xx + 5X - 4 = 0$ 的判别式为：
$D = (2X)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5X - 4) = 4X^2 - 20X + 16.$

步骤2：解不等式 $D \geq 0$
化简不等式：
$4X^2 - 20X + 16 \geq 0 \implies X^2 - 5X + 4 \geq 0.$
因式分解得：
$(X-1)(X-4) \geq 0.$
解得 $X \leq 1$ 或 $X \geq 4$。

步骤3：确定有效区间
由于 $X \sim U(0,6)$，需判断解集与 $(0,6)$ 的交集：

• $X \leq 1$ 对应区间 $(0,1]$，长度为 $1$。
• $X \geq 4$ 对应区间 $[4,6)$，长度为 $2$。
  总有效长度为 $1 + 2 = 3$。

步骤4：计算概率
均匀分布的概率为有效长度与总长度之比：
$P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.$