题目
[题目]设随机变量X在(0,6)上服从均匀分布,-|||-求方程 ^2+2xx+5x-4=0 有实根的概率
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定方程有实根的条件
方程 ${x}^{2}+2Xx+5X-4=0$ 有实根的条件是判别式 ${b}^{2}-4ac\geq 0$。对于这个方程，$a=1$，$b=2X$，$c=5X-4$。因此，判别式为 $(2X)^{2}-4(1)(5X-4)\geq 0$，即 $4X^{2}-20X+16\geq 0$。
步骤 2：解不等式
解不等式 $4X^{2}-20X+16\geq 0$，首先求解对应的方程 $4X^{2}-20X+16=0$。通过求根公式，得到 $X=\frac{20\pm\sqrt{400-256}}{8}=\frac{20\pm\sqrt{144}}{8}=\frac{20\pm12}{8}$。因此，$X=4$ 或 $X=1$。所以，不等式 $4X^{2}-20X+16\geq 0$ 的解集为 $X\leq 1$ 或 $X\geq 4$。
步骤 3：计算概率
由于随机变量X在(0,6)上服从均匀分布，所以X的取值范围是(0,6)。根据步骤2，方程有实根的条件是 $X\leq 1$ 或 $X\geq 4$。因此，有实根的概率是 $P(X\leq 1)+P(X\geq 4)$。由于X在(0,6)上服从均匀分布，所以 $P(X\leq 1)=\frac{1}{6}$，$P(X\geq 4)=\frac{2}{6}$。因此，有实根的概率是 $\frac{1}{6}+\frac{2}{6}=\frac{1}{2}$。
方程 ${x}^{2}+2Xx+5X-4=0$ 有实根的条件是判别式 ${b}^{2}-4ac\geq 0$。对于这个方程，$a=1$，$b=2X$，$c=5X-4$。因此，判别式为 $(2X)^{2}-4(1)(5X-4)\geq 0$，即 $4X^{2}-20X+16\geq 0$。
步骤 2：解不等式
解不等式 $4X^{2}-20X+16\geq 0$，首先求解对应的方程 $4X^{2}-20X+16=0$。通过求根公式，得到 $X=\frac{20\pm\sqrt{400-256}}{8}=\frac{20\pm\sqrt{144}}{8}=\frac{20\pm12}{8}$。因此，$X=4$ 或 $X=1$。所以，不等式 $4X^{2}-20X+16\geq 0$ 的解集为 $X\leq 1$ 或 $X\geq 4$。
步骤 3：计算概率
由于随机变量X在(0,6)上服从均匀分布，所以X的取值范围是(0,6)。根据步骤2，方程有实根的条件是 $X\leq 1$ 或 $X\geq 4$。因此，有实根的概率是 $P(X\leq 1)+P(X\geq 4)$。由于X在(0,6)上服从均匀分布，所以 $P(X\leq 1)=\frac{1}{6}$，$P(X\geq 4)=\frac{2}{6}$。因此，有实根的概率是 $\frac{1}{6}+\frac{2}{6}=\frac{1}{2}$。