题目
5.已知beta_(1),beta_(2),是非齐次线性方程组AX=b的两个不同解，alpha_{1),alpha_(2)}是其导出方程组AX=0的基础解系，k_(1),k_(2)为任意常数，则方程组AX=b的通解是（）A. k_(1)alpha_(1)+k_(2)(alpha_(1)+alpha_(2))+(beta_(1)-beta_(2))/(2)B. k_(1)alpha_(1)+k_(2)(alpha_(1)-alpha_(2))+(beta_(1)+beta_(2))/(2)C. k_(1)alpha_(1)+k_(2)alpha_(2)+(beta_(1)-beta_(2))/(2)D. k_(1)(alpha_(1)-alpha_(2))+k_(2)(alpha_(2)-alpha_(1))+(beta_(1)+beta_(2))/(2)
5.已知$\beta_{1},\beta_{2},$是非齐次线性方程组$AX=b$的两个不同解，$\{\alpha_{1},\alpha_{2}\}$是其导出方程组$AX=0$的基础解系，$k_{1},k_{2}$为任意常数，则方程组$AX=b$的通解是（）
A. $k_{1}\alpha_{1}+k_{2}(\alpha_{1}+\alpha_{2})+\frac{\beta_{1}-\beta_{2}}{2}$
B. $k_{1}\alpha_{1}+k_{2}(\alpha_{1}-\alpha_{2})+\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{2}$
C. $k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\frac{\beta_{1}-\beta_{2}}{2}$
D. $k_{1}(\alpha_{1}-\alpha_{2})+k_{2}(\alpha_{2}-\alpha_{1})+\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{2}$
题目解答
答案
B. $k_{1}\alpha_{1}+k_{2}(\alpha_{1}-\alpha_{2})+\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{2}$
解析
步骤 1：理解非齐次线性方程组的通解结构
非齐次线性方程组 $AX = b$ 的通解由两部分组成：导出方程组 $AX = 0$ 的通解加上非齐次方程组的一个特解。导出方程组的通解是其基础解系的线性组合，而特解可以是任意一个非齐次方程组的解。
步骤 2：确定导出方程组的通解
已知 $\alpha_1, \alpha_2$ 是导出方程组 $AX = 0$ 的基础解系，因此导出方程组的通解可以表示为 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2$，其中 $k_1, k_2$ 是任意常数。
步骤 3：确定非齐次方程组的特解
已知 $\beta_1, \beta_2$ 是非齐次方程组 $AX = b$ 的两个不同解，因此 $\beta_1 - \beta_2$ 是导出方程组 $AX = 0$ 的解。特解可以取为 $\frac{\beta_1 + \beta_2}{2}$，因为 $\beta_1$ 和 $\beta_2$ 都是 $AX = b$ 的解，所以它们的平均值也是 $AX = b$ 的解。
步骤 4：分析选项
- **A**：$k_1 \alpha_1 + k_2 (\alpha_1 + \alpha_2) + \frac{\beta_1 - \beta_2}{2}$，其中 $\frac{\beta_1 - \beta_2}{2}$ 是导出方程组的解，不是特解，错误。
- **B**：$k_1 \alpha_1 + k_2 (\alpha_1 - \alpha_2) + \frac{\beta_1 + \beta_2}{2}$，其中 $\alpha_1 - \alpha_2$ 与 $\alpha_1$ 线性无关，且 $\frac{\beta_1 + \beta_2}{2}$ 是特解，正确。
- **C**：$k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \frac{\beta_1 - \beta_2}{2}$，其中 $\frac{\beta_1 - \beta_2}{2}$ 是导出方程组的解，不是特解，错误。
- **D**：$k_1 (\alpha_1 - \alpha_2) + k_2 (\alpha_2 - \alpha_1) + \frac{\beta_1 + \beta_2}{2}$，其中 $\alpha_1 - \alpha_2$ 与 $\alpha_2 - \alpha_1$ 线性相关，错误。
非齐次线性方程组 $AX = b$ 的通解由两部分组成：导出方程组 $AX = 0$ 的通解加上非齐次方程组的一个特解。导出方程组的通解是其基础解系的线性组合，而特解可以是任意一个非齐次方程组的解。
步骤 2：确定导出方程组的通解
已知 $\alpha_1, \alpha_2$ 是导出方程组 $AX = 0$ 的基础解系，因此导出方程组的通解可以表示为 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2$，其中 $k_1, k_2$ 是任意常数。
步骤 3：确定非齐次方程组的特解
已知 $\beta_1, \beta_2$ 是非齐次方程组 $AX = b$ 的两个不同解，因此 $\beta_1 - \beta_2$ 是导出方程组 $AX = 0$ 的解。特解可以取为 $\frac{\beta_1 + \beta_2}{2}$，因为 $\beta_1$ 和 $\beta_2$ 都是 $AX = b$ 的解，所以它们的平均值也是 $AX = b$ 的解。
步骤 4：分析选项
- **A**：$k_1 \alpha_1 + k_2 (\alpha_1 + \alpha_2) + \frac{\beta_1 - \beta_2}{2}$，其中 $\frac{\beta_1 - \beta_2}{2}$ 是导出方程组的解，不是特解，错误。
- **B**：$k_1 \alpha_1 + k_2 (\alpha_1 - \alpha_2) + \frac{\beta_1 + \beta_2}{2}$，其中 $\alpha_1 - \alpha_2$ 与 $\alpha_1$ 线性无关，且 $\frac{\beta_1 + \beta_2}{2}$ 是特解，正确。
- **C**：$k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \frac{\beta_1 - \beta_2}{2}$，其中 $\frac{\beta_1 - \beta_2}{2}$ 是导出方程组的解，不是特解，错误。
- **D**：$k_1 (\alpha_1 - \alpha_2) + k_2 (\alpha_2 - \alpha_1) + \frac{\beta_1 + \beta_2}{2}$，其中 $\alpha_1 - \alpha_2$ 与 $\alpha_2 - \alpha_1$ 线性相关，错误。