lim_(x arrow ∞) (x^2+x)/(x^4-3x^2+1)

步骤 1：确定极限类型
观察给定的极限表达式 $\lim_{x \rightarrow ∞} \frac{x^2+x}{x^4-3x^2+1}$，可以看到分子和分母都是多项式，且分母的最高次项的次数高于分子的最高次项的次数。因此，当 $x$ 趋向于无穷大时，分母的增长速度将远快于分子，这提示我们极限值可能为0。

步骤 2：简化表达式
为了更清晰地看到这一点，我们可以将分子和分母同时除以 $x^4$，即分母的最高次项。这样做的目的是将表达式转换为更容易分析的形式。
$$\lim_{x \rightarrow ∞} \frac{x^2+x}{x^4-3x^2+1} = \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{\frac{x^2}{x^4}+\frac{x}{x^4}}{\frac{x^4}{x^4}-\frac{3x^2}{x^4}+\frac{1}{x^4}}$$
$$= \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{1-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^4}}$$

步骤 3：计算极限
现在，我们可以直接计算极限。当 $x$ 趋向于无穷大时，$\frac{1}{x^2}$, $\frac{1}{x^3}$, $\frac{3}{x^2}$, 和 $\frac{1}{x^4}$ 都趋向于0。因此，分子趋向于0，而分母趋向于1。
$$\lim_{x \rightarrow ∞} \frac{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{1-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^4}} = \frac{0+0}{1-0+0} = 0$$