1、计算下列行列式-|||-2 1 -3 1-|||-(1) 3 1 o 7-|||--1 2 4 -2-|||-1 0 -1 5

考查要点：本题主要考查四阶行列式的计算，核心方法是通过行变换将行列式化为上三角矩阵，从而利用对角线元素的乘积求值。

解题思路：

1. 行变换化简：通过逐列消元，将下方元素变为0，最终形成上三角矩阵。
2. 符号与倍数处理：注意行变换过程中是否涉及行列式符号变化或倍数缩放，但本题仅使用加减操作，无需额外调整。
3. 对角线乘积：化简为上三角后，行列式的值等于对角线元素的乘积。

行变换过程

第1列消元

• 目标：将第2、3、4行第1列元素变为0。
• 操作：
  • 第2行：$R2 - \frac{3}{2}R1 \Rightarrow 0, -\frac{1}{2}, \frac{9}{2}, \frac{11}{2}$。
  • 第3行：$R3 + \frac{1}{2}R1 \Rightarrow 0, \frac{5}{2}, \frac{5}{2}, -\frac{3}{2}$。
  • 第4行：$R4 - \frac{1}{2}R1 \Rightarrow 0, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{9}{2}$。

第2列消元

• 目标：将第3、4行第2列元素变为0。
• 操作：
  • 第3行：$R3 + 5R2 \Rightarrow 0, 0, 25, 26$。
  • 第4行：$R4 - R2 \Rightarrow 0, 0, -4, -1$。

第3列消元

• 目标：将第4行第3列元素变为0。
• 操作：
  • 第4行：$R4 + \frac{4}{25}R3 \Rightarrow 0, 0, 0, \frac{79}{25}$。

最终上三角矩阵

$\begin{pmatrix}2 & 1 & -3 & 1 \\0 & -\frac{1}{2} & \frac{9}{2} & \frac{11}{2} \\0 & 0 & 25 & 26 \\0 & 0 & 0 & \frac{79}{25}\end{pmatrix}$

行列式计算

对角线元素乘积：
$2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) \times 25 \times \frac{79}{25} = -79$