已知 (overline (A))=0.3 (B)=0.4, (Aoverline (B))=0.5, 求 (B|Acup overline (B))..

考查要点：本题主要考查条件概率的计算，涉及事件的分解、概率的加法公式以及条件概率公式的应用。

解题核心思路：

1. 利用补集求事件概率：已知$\overline{A}$的概率，可求出$A$的概率。
2. 事件分解与交集概率计算：通过分解事件$A$为$A \cap B$和$A \cap \overline{B}$，求出$P(AB)$。
3. 条件概率公式应用：明确条件概率的定义，正确计算分子$P(B \cap (A \cup \overline{B}))$和分母$P(A \cup \overline{B})$。

破题关键点：

• 分子简化：利用集合运算律将$B \cap (A \cup \overline{B})$简化为$AB$。
• 分母计算：通过容斥原理展开$P(A \cup \overline{B})$，避免直接计算复杂事件的概率。

步骤1：求事件$A$的概率

根据补集性质：
$P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0.3 = 0.7$

步骤2：求事件$AB$的概率

将$A$分解为$A \cap B$和$A \cap \overline{B}$：
$P(A) = P(AB) + P(A\overline{B})$
代入已知$P(A\overline{B}) = 0.5$：
$P(AB) = P(A) - P(A\overline{B}) = 0.7 - 0.5 = 0.2$

步骤3：计算条件概率的分子

根据集合运算律：
$B \cap (A \cup \overline{B}) = (B \cap A) \cup (B \cap \overline{B}) = AB \cup \varnothing = AB$
因此：
$P(B \cap (A \cup \overline{B})) = P(AB) = 0.2$

步骤4：计算条件概率的分母

利用容斥原理展开：
$P(A \cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B})$
其中：

• $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.4 = 0.6$
• $P(A \cap \overline{B}) = 0.5$（已知）

代入得：
$P(A \cup \overline{B}) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$

步骤5：求条件概率

根据条件概率公式：
$P(B|A \cup \overline{B}) = \frac{P(B \cap (A \cup \overline{B}))}{P(A \cup \overline{B})} = \frac{0.2}{0.8} = 0.25$