题目

已知 (overline (A))=0.3 (B)=0.4, (Aoverline (B))=0.5, 求 (B|Acup overline (B))..

$\text{ 已知 }P(\overline{A})=0.3,P(B)=0.4,P(A\overline{B})=0.5,\text{求 }P(\begin{array}{c|c}B&A\cup\overline{B}\end{array}).$ .

题目解答

答案

1、首先，利用事件的互斥性和概率的补集性质，我们可以计算出事件A的概率：

$P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0.3 = 0.7$

2、然后，利用条件概率的性质，我们可以计算出事件 $AB$ 的概率：

$P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)$

$P(AB)=P(A)-P(A\overline{B})=0.7-0.5=0.2$

3、最后，根据条件概率的运算法则，

我们可以计算出

$P(\begin{array}{c|c}B&A\cup\overline{B}\end{array}) = \frac{P[(A \cup \overline{B}) B]}{P(A \cup\overline{B})}=\frac{P(AB)}{P(A \cup \overline{B})}=\frac{P(AB)}{P(A )+P(\overline{B})-P(A \overline{B})}=\frac{0.2}{0.7+0.6-0.5}=0.25$

解析

步骤 1：计算事件A的概率
根据概率的补集性质，事件A的概率为：
$P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0.3 = 0.7$

步骤 2：计算事件AB的概率
利用条件概率的性质，事件AB的概率为：
$P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB)$
$P(AB) = P(A) - P(A\overline{B}) = 0.7 - 0.5 = 0.2$

步骤 3：计算事件$A\cup \overline{B}$的概率
事件$A\cup \overline{B}$的概率为：
$P(A\cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A\overline{B})$
$P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.4 = 0.6$
$P(A\cup \overline{B}) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$

步骤 4：计算条件概率$P(B|A\cup \overline{B})$
根据条件概率的定义，有：
$P(B|A\cup \overline{B}) = \frac{P(B \cap (A\cup \overline{B}))}{P(A\cup \overline{B})}$
$P(B \cap (A\cup \overline{B})) = P(B) - P(B\overline{A})$
$P(B\overline{A}) = P(B) - P(AB) = 0.4 - 0.2 = 0.2$
$P(B \cap (A\cup \overline{B})) = 0.4 - 0.2 = 0.2$
$P(B|A\cup \overline{B}) = \frac{0.2}{0.8} = 0.25$