题目

19. (2020,16 题,10 分)已知函数f(x)连续且lim_(xto0)(f(x))/(x)=1,g(x)=int_(0)^1f(xt)dt,求g'(x)并证明g'(x)在 x=0 处连续.

19. (2020,16 题,10 分)已知函数f(x)连续且$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1,g(x)=\int_{0}^{1}f(xt)dt,$求g'(x)并证明g'(x)在 x=0 处连续.

题目解答

答案

令 $ g(x) = \int_{0}^{1} f(xt) \, dt $，换元得 $ g(x) = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(u) \, du $（$ x \neq 0 $），且 $ g(0) = 0 $。

求导：

  • 当 $ x \neq 0 $ 时，
    $g'(x) = \frac{xf(x) - \int_{0}^{x} f(u) \, du}{x^2}.$
  • 当 $ x = 0 $ 时，
    $g'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{g(x) - g(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} f(u) \, du}{x^2} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{2}.$

连续性：
$\lim_{x \to 0} g'(x) = \lim_{x \to 0} \frac{xf(x) - \int_{0}^{x} f(u) \, du}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + o(x^2) - \frac{x^2}{2} - o(x^2)}{x^2} = \frac{1}{2} = g'(0),$
故 $ g'(x) $ 在 $ x = 0 $ 处连续。

答案：
$\boxed{\begin{cases} \frac{xf(x) - \int_{0}^{x} f(u) \, du}{x^2} & x \neq 0, \\ \frac{1}{2} & x = 0, \end{cases}\text{且 } g'(x) \text{ 在 } x = 0 \text{ 处连续.}}$

解析

本题主要考查变上限积分求导、函数连续性的证明以及极限的计算。解题的关键在于通过换元法将积分变量进行转换，然后分情况求导，最后利用极限来证明函数在某点的连续性。

  1. 对$g(x)$进行换元：
    已知$g(x)=\int_{0}^{1}f(xt)dt$，令$u = xt$，则$du = xdt$。
    当$t = 0$时，$u = 0$；当$t = 1$时，$u = x$。
    所以$g(x)=\int_{0}^{1}f(xt)dt=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(u)du$（$x\neq0$）。
    当$x = 0$时，$g(0)=\int_{0}^{1}f(0)dt=f(0)\int_{0}^{1}dt=f(0)$。
    又因为$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$，根据极限存在的条件可知$\lim_{x\to0}f(x)=0$，而函数$f(x)$连续，所以$f(0)=\lim_{x\to0}f(x)=0$，即$g(0)=0$。
  2. 分情况求$g'(x)$：
    • 当$x\neq0$时，根据除法求导公式$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，对$g(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(u)du$求导，其中$u = \int_{0}^{x}f(u)du$，$v = x$。
      $u^\prime = f(x)$，$v^\prime = 1$，则$g^\prime(x)=\frac{xf(x)-\int_{0}^{x}f(u)du}{x^2}$。
    • 当$x = 0$时，根据导数的定义$g^\prime(0)=\lim_{x\to0}\frac{g(x)-g(0)}{x}$，将$g(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(u)du$，$g(0)=0$代入可得：
      $g^\prime(0)=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(u)du - 0}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}f(u)du}{x^2}$。
      此时使用洛必达法则，对分子分母分别求导，根据变上限积分求导公式$(\int_{0}^{x}f(u)du)^\prime=f(x)$，可得：
      $g^\prime(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{2x}=\frac{1}{2}\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}$。
      已知$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$，所以$g^\prime(0)=\frac{1}{2}$。
  3. 证明$g^\prime(x)$在$x = 0$处连续：
    需要计算$\lim_{x\to0}g^\prime(x)$，即$\lim_{x\to0}\frac{xf(x)-\int_{0}^{x}f(u)du}{x^2}$。
    因为$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$，所以$f(x)=x + o(x)$（$x\to0$），则$xf(x)=x^2 + o(x^2)$。
    对$\int_{0}^{x}f(u)du$使用泰勒展开，$\int_{0}^{x}f(u)du=\int_{0}^{x}(u + o(u))du=\frac{x^2}{2}+o(x^2)$。
    将$xf(x)=x^2 + o(x^2)$，$\int_{0}^{x}f(u)du=\frac{x^2}{2}+o(x^2)$代入$\lim_{x\to0}\frac{xf(x)-\int_{0}^{x}f(u)du}{x^2}$可得：
    $\lim_{x\to0}\frac{x^2 + o(x^2)-(\frac{x^2}{2}+o(x^2))}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2}=\frac{1}{2}$。
    因为$\lim_{x\to0}g^\prime(x)=\frac{1}{2}=g^\prime(0)$，所以$g^\prime(x)$在$x = 0$处连续。