2-17 一物体自地球表面以速率v0竖直上抛.假-|||-定空气对物体阻力的值为 _(1)=km(v)^2, 式中m为物体的-|||-质量,k为常量.试求:(1)该物体能上升的高度;(2)物-|||-体返回地面时速度的值.(设重力加速度为常量.)

步骤 1：确定物体上升过程中的受力情况
物体在上升过程中受到重力和空气阻力的作用。重力方向向下，大小为 $mg$；空气阻力方向也向下，大小为 $kmv^2$。因此，物体的加速度 $a$ 可以表示为：
$$
a = \frac{F_{\text{合}}}{m} = \frac{-mg - kmv^2}{m} = -g - kv^2
$$
步骤 2：利用运动学方程求解物体上升的最大高度
物体上升过程中，速度 $v$ 与高度 $h$ 的关系可以通过运动学方程求解。根据牛顿第二定律，有：
$$
\frac{dv}{dt} = -g - kv^2
$$
利用链式法则，可以将上式改写为：
$$
\frac{dv}{dh} \cdot \frac{dh}{dt} = -g - kv^2
$$
由于 $\frac{dh}{dt} = v$，因此有：
$$
\frac{dv}{dh} \cdot v = -g - kv^2
$$
分离变量并积分，得到：
$$
\int_{v_0}^{0} \frac{v}{g + kv^2} dv = -\int_{0}^{h} dh
$$
积分后得到：
$$
\frac{1}{2k} \ln \left( \frac{g + kv_0^2}{g} \right) = h
$$
步骤 3：确定物体返回地面时的速度
物体在返回地面的过程中，受到的重力和空气阻力的方向相反。因此，物体的加速度 $a$ 可以表示为：
$$
a = \frac{F_{\text{合}}}{m} = \frac{-mg + kmv^2}{m} = -g + kv^2
$$
利用运动学方程求解物体返回地面时的速度。根据牛顿第二定律，有：
$$
\frac{dv}{dt} = -g + kv^2
$$
利用链式法则，可以将上式改写为：
$$
\frac{dv}{dh} \cdot \frac{dh}{dt} = -g + kv^2
$$
由于 $\frac{dh}{dt} = v$，因此有：
$$
\frac{dv}{dh} \cdot v = -g + kv^2
$$
分离变量并积分，得到：
$$
\int_{0}^{v} \frac{v}{g - kv^2} dv = -\int_{h}^{0} dh
$$
积分后得到：
$$
\frac{1}{2k} \ln \left( \frac{g}{g - kv^2} \right) = h
$$