题目
已知(x+dfrac (1)(x))=(x)^2+dfrac (1)({x)^2}-3，求f(x)
已知
，求f(x)
题目解答
答案
再令
故
也即
又对于（
）
当
时，
当且仅当
时，即x=1时取到等号
当
时，同理
故t的值域为
也即函数的定义域为：
解析
步骤 1：化简已知等式
已知等式为$(x+\dfrac {1}{x})={x}^{2}+\dfrac {1}{{x}^{2}}-3$，我们首先需要化简这个等式，以便于求解$f(x)$。
步骤 2：利用平方差公式
观察等式右边，我们可以使用平方差公式${(a+b)}^{2}={a}^{2}+2ab+{b}^{2}$，将${x}^{2}+\dfrac {1}{{x}^{2}}$表示为$(x+\dfrac {1}{x})^{2}-2$。
步骤 3：代入并求解
将${x}^{2}+\dfrac {1}{{x}^{2}}$用$(x+\dfrac {1}{x})^{2}-2$代入原等式，得到$(x+\dfrac {1}{x})={(x+\dfrac {1}{x})}^{2}-2-3$，即$(x+\dfrac {1}{x})={(x+\dfrac {1}{x})}^{2}-5$。令$t=x+\dfrac {1}{x}$，则$f(t)={t}^{2}-5$，从而$f(x)={x}^{2}-5$。
步骤 4：确定定义域
对于$x+\dfrac {1}{x}$，当$x>0$时，根据均值不等式，$x+\dfrac {1}{x}\geq 2$，当$x<0$时，$x+\dfrac {1}{x}\leq -2$。因此，$t$的值域为$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$，即$f(x)$的定义域为$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$。
已知等式为$(x+\dfrac {1}{x})={x}^{2}+\dfrac {1}{{x}^{2}}-3$，我们首先需要化简这个等式，以便于求解$f(x)$。
步骤 2：利用平方差公式
观察等式右边，我们可以使用平方差公式${(a+b)}^{2}={a}^{2}+2ab+{b}^{2}$，将${x}^{2}+\dfrac {1}{{x}^{2}}$表示为$(x+\dfrac {1}{x})^{2}-2$。
步骤 3：代入并求解
将${x}^{2}+\dfrac {1}{{x}^{2}}$用$(x+\dfrac {1}{x})^{2}-2$代入原等式，得到$(x+\dfrac {1}{x})={(x+\dfrac {1}{x})}^{2}-2-3$，即$(x+\dfrac {1}{x})={(x+\dfrac {1}{x})}^{2}-5$。令$t=x+\dfrac {1}{x}$，则$f(t)={t}^{2}-5$，从而$f(x)={x}^{2}-5$。
步骤 4：确定定义域
对于$x+\dfrac {1}{x}$，当$x>0$时，根据均值不等式，$x+\dfrac {1}{x}\geq 2$，当$x<0$时，$x+\dfrac {1}{x}\leq -2$。因此，$t$的值域为$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$，即$f(x)$的定义域为$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$。