题目
三阶方阵A的特征值为1，-1，2，则B=2A 3 -3A 2 的特征值为-1，-5，4-1，-5，4．
三阶方阵A的特征值为1，-1，2，则B=2A 3 -3A 2 的特征值为-1，-5，4-1，-5，4．
题目解答
答案
假设矩阵A的特征值λ对应有特征向量α，即：Aα=λα， 则：A 2 α 2 =A（Aα）α=Aλαα=λ（Aα）α=λλαα=λ 2 α 2 ， 从而：λ 2 为A 2 的特征值， 且A 3 α 3 =A（A 2 α 2 ）α=Aλ 2 α 2 α=λ 2 （Aα）α 2 =λ 3 α 3 ， 也有：λ 3 为A 3 的特征值， 于是：（2A 3 -3A 2 ）的特征值就为2λ 3 -3λ 2 ， 所以，B=2A 3 -3A 2 的特征值为： 2•1 3 -3•1 2 =-1， 2•（-1） 3 -3•（-1） 2 =-5， 2•2 3 -3•2 2 =4．
解析
步骤 1：理解特征值和特征向量的定义
特征值λ和特征向量α满足：Aα=λα，其中A是矩阵，α是非零向量。
步骤 2：计算A 2 的特征值
根据特征值的定义，A 2 α 2 =A（Aα）α=Aλαα=λ（Aα）α=λλαα=λ 2 α 2 ，所以λ 2 是A 2 的特征值。
步骤 3：计算A 3 的特征值
根据特征值的定义，A 3 α 3 =A（A 2 α 2 ）α=Aλ 2 α 2 α=λ 2 （Aα）α 2 =λ 3 α 3 ，所以λ 3 是A 3 的特征值。
步骤 4：计算B=2A 3 -3A 2 的特征值
根据特征值的定义，B的特征值为2λ 3 -3λ 2 ，其中λ是A的特征值。
步骤 5：计算B的特征值
根据A的特征值1，-1，2，计算B的特征值：
- 对于λ=1，B的特征值为2•1 3 -3•1 2 =-1。
- 对于λ=-1，B的特征值为2•（-1） 3 -3•（-1） 2 =-5。
- 对于λ=2，B的特征值为2•2 3 -3•2 2 =4。
特征值λ和特征向量α满足：Aα=λα，其中A是矩阵，α是非零向量。
步骤 2：计算A 2 的特征值
根据特征值的定义，A 2 α 2 =A（Aα）α=Aλαα=λ（Aα）α=λλαα=λ 2 α 2 ，所以λ 2 是A 2 的特征值。
步骤 3：计算A 3 的特征值
根据特征值的定义，A 3 α 3 =A（A 2 α 2 ）α=Aλ 2 α 2 α=λ 2 （Aα）α 2 =λ 3 α 3 ，所以λ 3 是A 3 的特征值。
步骤 4：计算B=2A 3 -3A 2 的特征值
根据特征值的定义，B的特征值为2λ 3 -3λ 2 ，其中λ是A的特征值。
步骤 5：计算B的特征值
根据A的特征值1，-1，2，计算B的特征值：
- 对于λ=1，B的特征值为2•1 3 -3•1 2 =-1。
- 对于λ=-1，B的特征值为2•（-1） 3 -3•（-1） 2 =-5。
- 对于λ=2，B的特征值为2•2 3 -3•2 2 =4。