题目
iint (({y)^2-1)dydx}+((x)^2-x)dxdx+((x)^2-y)dxdy是锥面iint (({y)^2-1)dydx}+((x)^2-x)dxdx+((x)^2-y)dxdy的外侧 。 iint (({y)^2-1)dydx}+((x)^2-x)dxdx+((x)^2-y)dxdy iint (({y)^2-1)dydx}+((x)^2-x)dxdx+((x)^2-y)dxdy
是锥面
的外侧 。 
题目解答
答案
解： 根据题意，可以将积分区域分为三部分，即：
为锥面的侧面部分。
为锥面的顶部圆盘部分。
为锥面的底部圆盘部分。
对于第一部分，采用柱坐标系进行计算。注意到
是锥面的外侧，因此我们需要将积分式中的正负号调整为：
对于第一项，使用极坐标系进行计算：
对于第二项，先计算出
，然后再计算
。
对于第三项，使用极坐标系进行计算：
因此，原积分的值为：
∴选D
解析
步骤 1：将积分区域分为三部分
根据题意，积分区域可以分为三部分：锥面的侧面部分、锥面的顶部圆盘部分和锥面的底部圆盘部分。侧面部分的积分区域为$z\in [ 0,h] $，${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant {z}^{2}$；顶部圆盘部分的积分区域为$z=h$，${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant {h}^{2}$；底部圆盘部分的积分区域为$z=0$，${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant {h}^{2}$。
步骤 2：计算侧面部分的积分
侧面部分的积分采用柱坐标系进行计算。注意到是锥面的外侧，因此我们需要将积分式中的正负号调整为：$\iint {({y}^{2}-1)dydx}+({x}^{2}-x)dxdx+({x}^{2}-y)dxdy$。对于第一项，使用极坐标系进行计算：$\iint {({y}^{2}-1)dydx}=\iint {({r}^{2}\sin^{2}\theta-1)rdrd\theta}$。对于第二项，先计算出${\int }_{0}^{h}({z}^{2}-x)dz=0$，然后再计算${\int }_{0}^{2\pi }\dfrac {1}{3}{h}^{3}rd\theta =0$。对于第三项，使用极坐标系进行计算：$\iint {({x}^{2}-y)dxdy}=\iint {({r}^{2}\cos^{2}\theta-r\sin\theta)rdrd\theta}$。因此，侧面部分的积分值为：$\dfrac {\pi }{4}{h}^{4}$。
步骤 3：计算顶部圆盘部分的积分
顶部圆盘部分的积分区域为$z=h$，${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant {h}^{2}$。由于$z=h$，因此积分式中的$z$项为常数，可以提取出来。对于第一项，使用极坐标系进行计算：$\iint {({y}^{2}-1)dydx}=\iint {({r}^{2}\sin^{2}\theta-1)rdrd\theta}$。对于第二项，先计算出${\int }_{0}^{h}({z}^{2}-x)dz=0$，然后再计算${\int }_{0}^{2\pi }\dfrac {1}{3}{h}^{3}rd\theta =0$。对于第三项，使用极坐标系进行计算：$\iint {({x}^{2}-y)dxdy}=\iint {({r}^{2}\cos^{2}\theta-r\sin\theta)rdrd\theta}$。因此，顶部圆盘部分的积分值为：$0$。
步骤 4：计算底部圆盘部分的积分
底部圆盘部分的积分区域为$z=0$，${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant {h}^{2}$。由于$z=0$，因此积分式中的$z$项为常数，可以提取出来。对于第一项，使用极坐标系进行计算：$\iint {({y}^{2}-1)dydx}=\iint {({r}^{2}\sin^{2}\theta-1)rdrd\theta}$。对于第二项，先计算出${\int }_{0}^{h}({z}^{2}-x)dz=0$，然后再计算${\int }_{0}^{2\pi }\dfrac {1}{3}{h}^{3}rd\theta =0$。对于第三项，使用极坐标系进行计算：$\iint {({x}^{2}-y)dxdy}=\iint {({r}^{2}\cos^{2}\theta-r\sin\theta)rdrd\theta}$。因此，底部圆盘部分的积分值为：$\dfrac {\pi }{4}{h}^{4}$。
步骤 5：计算原积分的值
原积分的值为：$\dfrac {\pi }{4}{h}^{4}+0+\dfrac {\pi }{4}{h}^{4}=\dfrac {\pi }{2}{h}^{4}$。
根据题意，积分区域可以分为三部分：锥面的侧面部分、锥面的顶部圆盘部分和锥面的底部圆盘部分。侧面部分的积分区域为$z\in [ 0,h] $，${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant {z}^{2}$；顶部圆盘部分的积分区域为$z=h$，${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant {h}^{2}$；底部圆盘部分的积分区域为$z=0$，${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant {h}^{2}$。
步骤 2：计算侧面部分的积分
侧面部分的积分采用柱坐标系进行计算。注意到是锥面的外侧，因此我们需要将积分式中的正负号调整为：$\iint {({y}^{2}-1)dydx}+({x}^{2}-x)dxdx+({x}^{2}-y)dxdy$。对于第一项，使用极坐标系进行计算：$\iint {({y}^{2}-1)dydx}=\iint {({r}^{2}\sin^{2}\theta-1)rdrd\theta}$。对于第二项，先计算出${\int }_{0}^{h}({z}^{2}-x)dz=0$，然后再计算${\int }_{0}^{2\pi }\dfrac {1}{3}{h}^{3}rd\theta =0$。对于第三项，使用极坐标系进行计算：$\iint {({x}^{2}-y)dxdy}=\iint {({r}^{2}\cos^{2}\theta-r\sin\theta)rdrd\theta}$。因此，侧面部分的积分值为：$\dfrac {\pi }{4}{h}^{4}$。
步骤 3：计算顶部圆盘部分的积分
顶部圆盘部分的积分区域为$z=h$，${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant {h}^{2}$。由于$z=h$，因此积分式中的$z$项为常数，可以提取出来。对于第一项，使用极坐标系进行计算：$\iint {({y}^{2}-1)dydx}=\iint {({r}^{2}\sin^{2}\theta-1)rdrd\theta}$。对于第二项，先计算出${\int }_{0}^{h}({z}^{2}-x)dz=0$，然后再计算${\int }_{0}^{2\pi }\dfrac {1}{3}{h}^{3}rd\theta =0$。对于第三项，使用极坐标系进行计算：$\iint {({x}^{2}-y)dxdy}=\iint {({r}^{2}\cos^{2}\theta-r\sin\theta)rdrd\theta}$。因此，顶部圆盘部分的积分值为：$0$。
步骤 4：计算底部圆盘部分的积分
底部圆盘部分的积分区域为$z=0$，${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant {h}^{2}$。由于$z=0$，因此积分式中的$z$项为常数，可以提取出来。对于第一项，使用极坐标系进行计算：$\iint {({y}^{2}-1)dydx}=\iint {({r}^{2}\sin^{2}\theta-1)rdrd\theta}$。对于第二项，先计算出${\int }_{0}^{h}({z}^{2}-x)dz=0$，然后再计算${\int }_{0}^{2\pi }\dfrac {1}{3}{h}^{3}rd\theta =0$。对于第三项，使用极坐标系进行计算：$\iint {({x}^{2}-y)dxdy}=\iint {({r}^{2}\cos^{2}\theta-r\sin\theta)rdrd\theta}$。因此，底部圆盘部分的积分值为：$\dfrac {\pi }{4}{h}^{4}$。
步骤 5：计算原积分的值
原积分的值为：$\dfrac {\pi }{4}{h}^{4}+0+\dfrac {\pi }{4}{h}^{4}=\dfrac {\pi }{2}{h}^{4}$。