把对坐标的曲线积分 (int )_(L)P(x,y)dx+Q(x,y)dy 化成对弧长的曲线积分,其中L为沿-|||-上半圆周 ^2+(y)^2=2x 从O(0,0)到A(1,1 )的一段弧.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查将对坐标的曲线积分转化为对弧长的曲线积分的能力，需要掌握曲线的参数方程表示及积分变量的转换方法。
解题核心思路：
- 确定曲线形状：将方程$x^2 + y^2 = 2x$化为标准圆的形式，明确曲线的几何特征。
- 参数化曲线：选择合适参数（如$x$作为参数），表示曲线上的点$(x,y)$。
- 计算微分关系：通过参数化得到$dx$和$dy$与弧长元素$ds$的关系，代入原积分表达式进行转换。
破题关键点：
- 参数化选择：利用$x$作为参数，将曲线表示为$y = \sqrt{2x - x^2}$。
- 微分关系推导：通过链式法则和弧长公式，将$dx$和$dy$用$ds$表示。
曲线参数化
将圆方程$x^2 + y^2 = 2x$变形为$(x-1)^2 + y^2 = 1$，可知圆心为$(1,0)$，半径$r=1$。上半圆满足$y = \sqrt{2x - x^2}$，参数$x$的取值范围为$0 \leq x \leq 1$。
计算微分关系
-
弧长元素$ds$：
$ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dx}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx = \sqrt{1 + \left(\frac{1-x}{\sqrt{2x - x^2}}\right)^2} dx = \frac{1}{\sqrt{2x - x^2}} dx.$
因此，$dx = \sqrt{2x - x^2} \, ds$。 -
微分$dy$：
$dy = \frac{dy}{dx} dx = \frac{1-x}{\sqrt{2x - x^2}} dx = (1-x) \, ds.$
曲线积分转换
将原积分$\int_L P \, dx + Q \, dy$中的$dx$和$dy$代入：
$\begin{aligned}\int_L P \, dx + Q \, dy &= \int_{0}^{1} \left[ P(x, \sqrt{2x - x^2}) \cdot \sqrt{2x - x^2} + Q(x, \sqrt{2x - x^2}) \cdot (1-x) \right] dx \\&= \int_L \left[ \sqrt{2x - x^2} \, P(x,y) + (1-x) \, Q(x,y) \right] ds.\end{aligned}$