题目
[题目]-|||-求函数 =(x)^2+(y)^2 在点(1,2)处沿从点(1,2)到点-|||-(2,2+sqrt (3)) 的方向的方向导数
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定方向向量
从点(1,2)到点 $(2,2+\sqrt {3})$ 的向量为 $l=(2-1,2+\sqrt {3}-2)=(1,\sqrt {3})$。
步骤 2：计算方向向量的单位向量
方向向量 $l=(1,\sqrt {3})$ 的模为 $\sqrt {1^2+(\sqrt {3})^2}=\sqrt {1+3}=\sqrt {4}=2$。因此，单位向量为 $\hat{l}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt {3}}{2}\right)$。
步骤 3：计算偏导数
函数 $z={x}^{2}+{y}^{2}$ 的偏导数为 $\frac {\partial z}{\partial x}=2x$ 和 $\frac {\partial z}{\partial y}=2y$。在点(1,2)处，偏导数分别为 $\frac {\partial z}{\partial x}|_{(1,2)}=2$ 和 $\frac {\partial z}{\partial y}|_{(1,2)}=4$。
步骤 4：计算方向导数
方向导数为 $\frac {\partial z}{\partial l}=\frac {\partial z}{\partial x}\cdot \frac {1}{2}+\frac {\partial z}{\partial y}\cdot \frac {\sqrt {3}}{2}=2\cdot \frac {1}{2}+4\cdot \frac {\sqrt {3}}{2}=1+2\sqrt {3}$。
从点(1,2)到点 $(2,2+\sqrt {3})$ 的向量为 $l=(2-1,2+\sqrt {3}-2)=(1,\sqrt {3})$。
步骤 2：计算方向向量的单位向量
方向向量 $l=(1,\sqrt {3})$ 的模为 $\sqrt {1^2+(\sqrt {3})^2}=\sqrt {1+3}=\sqrt {4}=2$。因此，单位向量为 $\hat{l}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt {3}}{2}\right)$。
步骤 3：计算偏导数
函数 $z={x}^{2}+{y}^{2}$ 的偏导数为 $\frac {\partial z}{\partial x}=2x$ 和 $\frac {\partial z}{\partial y}=2y$。在点(1,2)处，偏导数分别为 $\frac {\partial z}{\partial x}|_{(1,2)}=2$ 和 $\frac {\partial z}{\partial y}|_{(1,2)}=4$。
步骤 4：计算方向导数
方向导数为 $\frac {\partial z}{\partial l}=\frac {\partial z}{\partial x}\cdot \frac {1}{2}+\frac {\partial z}{\partial y}\cdot \frac {\sqrt {3}}{2}=2\cdot \frac {1}{2}+4\cdot \frac {\sqrt {3}}{2}=1+2\sqrt {3}$。