21. (2.0分) 将一个堑堵剖分成一个阳马和一个鳖臑，阳马的体积与鳖臑的体积之比是____。牟合方盖的内切球与牟合方盖的体积之比pi:____。

为了解决这个问题，我们需要分别解决两个部分：堑堵的剖分和牟合方盖的内切球与牟合方盖的体积之比。 ### 第一部分：堑堵的剖分 一个堑堵是一个直角三角形的棱柱。当我们剖分一个堑堵成一个阳马和一个鳖臑时，阳马是一个底面为矩形的金字塔，而鳖臑是一个底面为直角三角形的金字塔。 堑堵的体积 $ V_{\text{堑堵}} $ 可以表示为： \[ V_{\text{堑堵}} = \frac{1}{2} \times \text{底面积} \times \text{高} \] 阳马的体积 $ V_{\text{阳马}} $ 是： \[ V_{\text{阳马}} = \frac{1}{3} \times \text{底面积} \times \text{高} \] 鳖臑的体积 $ V_{\text{鳖臑}} $ 是： \[ V_{\text{鳖臑}} = \frac{1}{6} \times \text{底面积} \times \text{高} \] 由于堑堵的底面积是 $ \text{底面积} = \frac{1}{2} \times \text{底面矩形的面积} $ 且高是 $ \text{高} $，我们有： \[ V_{\text{堑堵}} = \frac{1}{2} \times \text{底面矩形的面积} \times \text{高} \] 阳马的体积 $ V_{\text{阳马}} $ 是： \[ V_{\text{阳马}} = \frac{1}{3} \times \text{底面矩形的面积} \times \text{高} \] 鳖臑的体积 $ V_{\text{鳖臑}} $ 是： \[ V_{\text{鳖臑}} = \frac{1}{6} \times \text{底面矩形的面积} \times \text{高} \] 因此，阳马的体积与鳖臑的体积之比是： \[ \frac{V_{\text{阳马}}}{V_{\text{鳖臑}}} = \frac{\frac{1}{3} \times \text{底面矩形的面积} \times \text{高}}{\frac{1}{6} \times \text{底面矩形的面积} \times \text{高}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}} = 2 \] ### 第二部分：牟合方盖的内切球与牟合方盖的体积之比 牟合方盖是一个由两个等半径的圆柱体以直角相交形成的立体。牟合方盖的内切球是一个与牟合方盖的两个圆柱体的底面和侧面都相切的球。 内切球的体积 $ V_{\text{球}} $ 是： \[ V_{\text{球}} = \frac{4}{3} \pi r^3 \] 牟合方盖的体积 $ V_{\text{牟合方盖}} $ 是： \[ V_{\text{牟合方盖}} = \frac{16}{3} r^3 \] 内切球与牟合方盖的体积之比是： \[ \frac{V_{\text{球}}}{V_{\text{牟合方盖}}} = \frac{\frac{4}{3} \pi r^3}{\frac{16}{3} r^3} = \frac{\pi}{4} \] 因此，内切球与牟合方盖的体积之比是 $ \pi:4 $。 ### 最终答案 阳马的体积与鳖臑的体积之比是 $ \boxed{3:1} $。 牟合方盖的内切球与牟合方盖的体积之比是 $ \pi:4 $。 \[ \boxed{2, 4} \]