题目
5.(计算题，7.0分)求点M(1，-1，2)关于平面πx-2y-z-7=0对此的点得坐标。
5.(计算题，7.0分)
求点M(1，-1，2)关于平面πx-2y-z-7=0对此的点得坐标。
题目解答
答案
1. **求过点 $ M $ 的垂线方程**：
平面 $ \pi $ 的法向量为 $ \mathbf{n} = (1, -2, -1) $，过点 $ M(1, -1, 2) $ 的垂线参数方程为：
\[
\begin{cases}
x = 1 + t \\
y = -1 - 2t \\
z = 2 - t
\end{cases}
\]
2. **求垂线与平面的交点 $ T $**：
将参数方程代入平面方程 $ x - 2y - z - 7 = 0 $：
\[
(1 + t) - 2(-1 - 2t) - (2 - t) - 7 = 0 \implies 6t - 6 = 0 \implies t = 1
\]
代入参数方程得交点 $ T(2, -3, 1) $。
3. **利用中点公式求对称点 $ N $**：
$ T $ 为 $ MN $ 中点，设 $ N(a, b, c) $，则：
\[
\begin{cases}
\frac{1 + a}{2} = 2 \\
\frac{-1 + b}{2} = -3 \\
\frac{2 + c}{2} = 1
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
a = 3 \\
b = -5 \\
c = 0
\end{cases}
\]
**答案**：
对称点坐标为 $\boxed{(3, -5, 0)}$。