5.设A为 times 3 矩阵, |A|=2, 将A按列分块为 =((A)_(1),(A)_(2),(A)_(3)), 其-|||-中, ;(j=1,2,3) 是A的第j列,求:-|||-(1)|A3,3A2,2 A1|;(2) |(A)_(3)-2(A)_(1), 3A2,A1|.

题目考察知识

本题主要考察行列式的性质，，包括：

1. 行列式的列交换性质：：交换行列式的两列，行列式变号；交换$k$次，行列式变号$k$次。
2. 行列式的数乘性质：行列式某一列乘以常数$k$，行列式的值变为原来的$k$倍；若某一列是多个列向量的线性组合（如$A_3-2A_1$），可利用行列式的线性性拆分计算。
3. 行列式的分块计算：矩阵按列分块后，行列式可转化为列向量的行列式运算。

题目修正与题目拆解

原题表述存在排版问题，修正后题目为：
设$A为$3\times3$矩阵，$|A|=2$，将A按列分块为$A=(A_1,A,A_2,A_3)$，其中$A_j(j=1,2,3)$是A的第j列，求：
(1)$|A_3,3A_2,2A_1|；
(2)$|A_3-2A_1,3A_2,A_1|$。

解答过程

(1) 计算$|A_3,3A_2,2A_1|$

原行列式为$|A_3,3A_2,2A_1|$，按以下步骤计算：

1. 提取列的数乘因子：

   • 第二列$3A_2$：提取3，行列式变为$3|A_3,3A_2,2A_1|=3|A_3,A_2,2A_1|$。
   • 第三列$2A_1$：提取2，行列式变为$3\times2|A_3,A_2,A_1|=6|A_3,A_2,A_1|$。

2. 调整列顺序至原顺序：
   原行列式$|A_3,A_2,A_1|$中，列的顺序为$A_3,A_2,A_1$，而$|A|=|A_1,A_2,A_3|=2$，需交换列至原顺序：

   • 交换$A_3$与$A_1$（交换1次，变号1次）：$|A_3,A_2,A_1|=-|A_1,A_2,A_3|$。

3. 代入计算：
   $|A_3,3A_2,2A_1|=6\times(-|A|)=6\times(-2)=-12$。

(2) 计算$|A_3-2A_1,3A_2,A_1|$

1. 利用行列式线性性拆分：
   行列式第一列$A_3-2A_1$可拆分：
   $|A_3-2A_1,3A_2,A_1|=|A_3,3A_2,A_1|-|2A_1,3A_2,A_1|$。

2. 计算第一项$|A_3,3A_2,A_1|$：

   • 提取第二列的3：$|A_3,3A_2,A_1|=3|A_3,A_2,A_1|$
   • 交换$A_3$与$A_1$（变号1次）：$3\times(-|A|)=3\times(-2)=-6$。

3. **计算第二项$|2A_1,3A_2,A_1|$：

   • 第一列$2A_1$与第三列$A_1$线性相关（成比例），行列式为0：$|2A_1,3A_2,A_1|=0$。

4. 合并结果：
   $|A_3-2A_1,3A_2,A_1|=-6-0=-6$。