(1)设随机变量X的概率密度为 (x),-infty lt xlt infty , 求 =(X)^3 的概-|||-率密度.-|||-(2)设随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= ) (e)^-x,xgt 0 0, 的概率密度.

考查要点：本题主要考查随机变量函数的概率密度求解方法，即通过变量变换法（概率密度的变换公式）求解新变量的概率密度。

解题核心思路：

1. 确定函数单调性：若函数$Y = g(X)$在定义域内严格单调且可导，则存在反函数$x = h(y)$。
2. 应用概率密度公式：根据教材公式$f_Y(y) = f_X(h(y)) \cdot |h'(y)|$，其中$h(y)$是$g(x)$的反函数，$h'(y)$是其导数。
3. 考虑定义域限制：若原变量$X$的定义域有限制（如第二题中$x > 0$），需注意反函数的取值范围。

破题关键点：

• 严格单调性：确保函数可逆，避免多值性问题。
• 导数计算：正确求导反函数，注意绝对值符号的应用。
• 定义域匹配：根据原变量的定义域，确定新变量的取值范围。

第（1）题

函数分析：$Y = X^3$在全体实数范围内严格单调递增，反函数为$x = y^{1/3}$，导数为$h'(y) = \dfrac{1}{3} y^{-2/3}$。

公式应用：
$f_Y(y) = f_X(y^{1/3}) \cdot \left| \dfrac{1}{3} y^{-2/3} \right| = \dfrac{1}{3} y^{-2/3} f_X(y^{1/3}), \quad y \neq 0$

注意：当$y = 0$时，$X = 0$，此时概率密度需单独分析，但题目未特别要求，故直接应用公式。

第（2）题

函数分析：$Y = X^2$在$x > 0$时严格单调递增，反函数为$x = \sqrt{y}$，导数为$h'(y) = \dfrac{1}{2} y^{-1/2}$。

公式应用：
$f_Y(y) = f_X(\sqrt{y}) \cdot \dfrac{1}{2} y^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{y}} e^{-\sqrt{y}}, \quad y > 0$

注意：由于$f_X(x) = 0$当$x \leq 0$，故$Y$的定义域为$y > 0$，其他情况概率密度为0。