题目
2.在区间[0,1]中随机地任取两个数,设A表示两数之和小于 dfrac (5)(4), B表示两数之积大于-|||-dfrac (1)(4), C表示两数之和小于 dfrac (5)(4), 且两数之积大于 dfrac (1)(4), 分别求P(A),P(B),P(C).
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义随机变量
设两个随机数为 $x$ 和 $y$，它们都在区间 $[0,1]$ 内。因此，$x$ 和 $y$ 的取值范围为 $0 \leq x \leq 1$ 和 $0 \leq y \leq 1$。
步骤 2：计算 $P(A)$
事件 $A$ 表示两数之和小于 $\dfrac{5}{4}$，即 $x + y < \dfrac{5}{4}$。在 $[0,1] \times [0,1]$ 的正方形区域内，$x + y < \dfrac{5}{4}$ 的区域是一个三角形，其顶点为 $(0,0)$，$(1, \dfrac{1}{4})$ 和 $(\dfrac{1}{4}, 1)$。计算该三角形的面积，然后除以正方形的面积（即1）得到 $P(A)$。
$$
P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{4} \times \frac{5}{4} - \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{25}{32} - \frac{1}{32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}
$$
步骤 3：计算 $P(B)$
事件 $B$ 表示两数之积大于 $\dfrac{1}{4}$，即 $xy > \dfrac{1}{4}$。在 $[0,1] \times [0,1]$ 的正方形区域内，$xy > \dfrac{1}{4}$ 的区域是一个曲边三角形，其边界为 $xy = \dfrac{1}{4}$。计算该曲边三角形的面积，然后除以正方形的面积（即1）得到 $P(B)$。
$$
P(B) = \int_{\frac{1}{4}}^{1} \left(1 - \frac{1}{4x}\right) dx = \left[x - \frac{1}{4} \ln x\right]_{\frac{1}{4}}^{1} = 1 - \frac{1}{4} \ln 1 - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \ln \frac{1}{4}\right) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \ln 4 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \ln 4
$$
步骤 4：计算 $P(C)$
事件 $C$ 表示两数之和小于 $\dfrac{5}{4}$ 且两数之积大于 $\dfrac{1}{4}$，即 $x + y < \dfrac{5}{4}$ 且 $xy > \dfrac{1}{4}$。在 $[0,1] \times [0,1]$ 的正方形区域内，$x + y < \dfrac{5}{4}$ 且 $xy > \dfrac{1}{4}$ 的区域是一个曲边三角形，其边界为 $xy = \dfrac{1}{4}$ 和 $x + y = \dfrac{5}{4}$。计算该曲边三角形的面积，然后除以正方形的面积（即1）得到 $P(C)$。
$$
P(C) = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{5}{4} - \frac{1}{4}} \left(\frac{5}{4} - x - \frac{1}{4x}\right) dx = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \left(\frac{5}{4} - x - \frac{1}{4x}\right) dx = \left[\frac{5}{4}x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4} \ln x\right]_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} = \frac{5}{8} - \frac{1}{8} - \frac{1}{4} \ln 2 - \left(\frac{5}{16} - \frac{1}{32} - \frac{1}{4} \ln \frac{1}{4}\right) = \frac{15}{32} - \frac{1}{4} \ln 2
$$
设两个随机数为 $x$ 和 $y$，它们都在区间 $[0,1]$ 内。因此，$x$ 和 $y$ 的取值范围为 $0 \leq x \leq 1$ 和 $0 \leq y \leq 1$。
步骤 2：计算 $P(A)$
事件 $A$ 表示两数之和小于 $\dfrac{5}{4}$，即 $x + y < \dfrac{5}{4}$。在 $[0,1] \times [0,1]$ 的正方形区域内，$x + y < \dfrac{5}{4}$ 的区域是一个三角形，其顶点为 $(0,0)$，$(1, \dfrac{1}{4})$ 和 $(\dfrac{1}{4}, 1)$。计算该三角形的面积，然后除以正方形的面积（即1）得到 $P(A)$。
$$
P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{4} \times \frac{5}{4} - \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{25}{32} - \frac{1}{32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}
$$
步骤 3：计算 $P(B)$
事件 $B$ 表示两数之积大于 $\dfrac{1}{4}$，即 $xy > \dfrac{1}{4}$。在 $[0,1] \times [0,1]$ 的正方形区域内，$xy > \dfrac{1}{4}$ 的区域是一个曲边三角形，其边界为 $xy = \dfrac{1}{4}$。计算该曲边三角形的面积，然后除以正方形的面积（即1）得到 $P(B)$。
$$
P(B) = \int_{\frac{1}{4}}^{1} \left(1 - \frac{1}{4x}\right) dx = \left[x - \frac{1}{4} \ln x\right]_{\frac{1}{4}}^{1} = 1 - \frac{1}{4} \ln 1 - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \ln \frac{1}{4}\right) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \ln 4 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \ln 4
$$
步骤 4：计算 $P(C)$
事件 $C$ 表示两数之和小于 $\dfrac{5}{4}$ 且两数之积大于 $\dfrac{1}{4}$，即 $x + y < \dfrac{5}{4}$ 且 $xy > \dfrac{1}{4}$。在 $[0,1] \times [0,1]$ 的正方形区域内，$x + y < \dfrac{5}{4}$ 且 $xy > \dfrac{1}{4}$ 的区域是一个曲边三角形，其边界为 $xy = \dfrac{1}{4}$ 和 $x + y = \dfrac{5}{4}$。计算该曲边三角形的面积，然后除以正方形的面积（即1）得到 $P(C)$。
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P(C) = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{5}{4} - \frac{1}{4}} \left(\frac{5}{4} - x - \frac{1}{4x}\right) dx = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \left(\frac{5}{4} - x - \frac{1}{4x}\right) dx = \left[\frac{5}{4}x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4} \ln x\right]_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} = \frac{5}{8} - \frac{1}{8} - \frac{1}{4} \ln 2 - \left(\frac{5}{16} - \frac{1}{32} - \frac{1}{4} \ln \frac{1}{4}\right) = \frac{15}{32} - \frac{1}{4} \ln 2
$$