题目
21. 求不定积分int(1)/((1+sqrt[3](x))sqrt(x))dx.
21. 求不定积分$\int\frac{1}{(1+\sqrt[3]{x})\sqrt{x}}dx$.
题目解答
答案
设 $u = \sqrt[6]{x}$，则 $x = u^6$，$dx = 6u^5 \, du$。代入原积分得：
\[
\int \frac{1}{(1+u^2)u^3} \cdot 6u^5 \, du = \int \frac{6u^2}{1+u^2} \, du.
\]
利用恒等式 $\frac{6u^2}{1+u^2} = 6 - \frac{6}{1+u^2}$，积分变为：
\[
\int \left(6 - \frac{6}{1+u^2}\right) \, du = 6u - 6 \arctan u + C.
\]
将 $u = \sqrt[6]{x}$ 代回，得：
\[
\boxed{6 \sqrt[6]{x} - 6 \arctan \sqrt[6]{x} + C}.
\]
解析
考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是通过变量替换法简化被积函数的能力，以及利用分式分解技巧处理有理分式积分。
解题核心思路：
- 观察被积函数结构：分母为$(1+\sqrt[3]{x})\sqrt{x}$，包含不同根式的乘积，直接积分困难。
- 选择合适变量替换：通过令$u = \sqrt[6]{x}$，将分母中的根式转化为多项式形式，简化积分。
- 分式分解：将复杂的分式拆分为简单分式的组合，便于逐项积分。
破题关键点：
- 变量替换的选择：选取$u = \sqrt[6]{x}$，使得$x^{1/3}$和$x^{1/2}$均能表示为$u$的整数次幂。
- 分式恒等变形：将$\frac{6u^2}{1+u^2}$拆分为$6 - \frac{6}{1+u^2}$，转化为基本积分形式。
步骤1：变量替换简化积分
设$u = \sqrt[6]{x}$，则：
$x = u^6, \quad dx = 6u^5 \, du$
代入原积分：
$\int \frac{1}{(1+u^2)u^3} \cdot 6u^5 \, du = \int \frac{6u^2}{1+u^2} \, du$
步骤2：分式分解
将分式$\frac{6u^2}{1+u^2}$变形：
$\frac{6u^2}{1+u^2} = 6 - \frac{6}{1+u^2}$
步骤3：逐项积分
积分变为：
$\int \left(6 - \frac{6}{1+u^2}\right) \, du = 6u - 6 \arctan u + C$
步骤4：回代变量
将$u = \sqrt[6]{x}$代回，得到最终结果：
$6\sqrt[6]{x} - 6 \arctan \sqrt[6]{x} + C$