4. (3.0分) lim_(x to infty) (1-(1)/(x))^-x 的极限为（）A. e^-2B. e^-1C. eD. 1

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用重要极限公式$\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$的变形与应用，以及对数函数和指数函数的性质。

解题核心思路：

1. 识别形式：将题目中的表达式与已知的重要极限形式对比，通过变形或变量替换使其匹配。
2. 等价无穷小替换：当$x \to \infty$时，$\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)$可用等价无穷小$-\frac{1}{x}$近似，简化计算。
3. 指数与对数的转换：通过对数将幂指型极限转化为乘积型极限，简化运算后取指数还原结果。

破题关键点：

• 符号处理：注意原式中的负号和分母$x$的符号变化，避免计算错误。
• 极限公式灵活应用：通过调整表达式形式，将问题转化为已知极限的变形。

步骤1：表达式变形
原式为$\left(1-\frac{1}{x}\right)^{-x}$，可改写为$\left[\left(1-\frac{1}{x}\right)^x\right]^{-1}$。

步骤2：求内层极限
考虑内层$\left(1-\frac{1}{x}\right)^x$的极限。根据重要极限公式$\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{a}{x}\right)^x = e^a$，令$a = -1$，得：
$\lim_{x \to \infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x = e^{-1}.$

步骤3：取倒数
原式为内层极限的倒数，因此：
$\lim_{x \to \infty} \left[\left(1-\frac{1}{x}\right)^x\right]^{-1} = \left(e^{-1}\right)^{-1} = e.$

步骤4（验证）：对数法
对原式取自然对数：
$\ln \left(1-\frac{1}{x}\right)^{-x} = -x \ln \left(1-\frac{1}{x}\right).$
当$x \to \infty$时，$\ln\left(1-\frac{1}{x}\right) \approx -\frac{1}{x}$，代入得：
$\lim_{x \to \infty} -x \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} 1 = 1.$
取指数还原结果：
$e^1 = e.$