题目

已知Rt△ABC中，直角边AC、BC的长度分别为20、15，动点P从C出发，沿三角形边界按C→B→A方向移动；动点Q从C出发，沿三角形边界按C→A→B方向移动，移动到两点相遇时为止，且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍。设动点P移动的距离为x，△CPQ的面积为y，试求y与x之间的函数关系。 .

已知Rt△ABC中，直角边AC、BC的长度分别为20、15，动点P从C出发，沿三角形边界按C→B→A方向移动；动点Q从C出发，沿三角形边界按C→A→B方向移动，移动到两点相遇时为止，且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍。设动点P移动的距离为x，△CPQ的面积为y，试求y与x之间的函数关系。

题目解答

答案

∵Rt△ABC中，AC=20，BC=15，

∴AB=25,sinB=45,cosB=35，

∵点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍，

∴设动点P移动的距离为x，则动点Q移动的距离为2x，

若两点相遇时，则满足x+2x=20+15+25，

即3x=60，即x=20.

①若Q在BC上,则0⩽2x⩽15,即0⩽x⩽152时，

△CPQ的面积为y=12⋅CQ⋅CP=12⋅x⋅2x=x2.

②若Q在AB上,P在CA上时,满足{15⩽2x⩽400⩽x⩽20,即⎧⎩⎨152⩽x⩽200⩽x⩽20.

解得152⩽x⩽20，

则BQ=2x−BC=2x−15,BE=BQcosB=(2x−15)×35=3(2x−15)5，

则三角形CPQ的高QF=EC=BC−BE=15−3(2x−15)5=120−6x5

则△CPQ的面积为y=12⋅QF⋅CP=12⋅x⋅120−6x5=−3x2+60x5

即y=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x2,−3x2+60x5,0⩽x⩽152152<x⩽20.

解析

步骤 1：确定三角形的边长和角度
在直角三角形ABC中，AC=20，BC=15，根据勾股定理，AB=25。根据三角函数，sinB=4/5，cosB=3/5。
步骤 2：确定动点P和Q的移动距离
设动点P移动的距离为x，则动点Q移动的距离为2x。当两点相遇时，满足x+2x=20+15+25，即3x=60，解得x=20。
步骤 3：分段讨论△CPQ的面积
①当Q在BC上时，0≤2x≤15，即0≤x≤15/2时，△CPQ的面积为y=1/2⋅CQ⋅CP=1/2⋅x⋅2x=x^2。
②当Q在AB上，P在CA上时，满足{15≤2x≤40,0≤x≤20}，即{15/2≤x≤20,0≤x≤20}。解得15/2≤x≤20。此时，BQ=2x−15，BE=BQcosB=(2x−15)×3/5=3(2x−15)/5。则三角形CPQ的高QF=EC=BC−BE=15−3(2x−15)/5=120−6x/5。则△CPQ的面积为y=1/2⋅QF⋅CP=1/2⋅x⋅(120−6x)/5=−3x^2+60x/5。