设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB＝E，则（ ）。A. r（A）＝m，r（B）＝mB. r（A）＝m，r（B）＝nC. r（A）＝n，r（B）＝mD. r（A）＝n，r（B）＝n

考查要点：本题主要考查矩阵乘法的秩的性质，以及矩阵方程中秩的推断能力。

解题核心思路：

1. 利用矩阵乘积的秩性质：若$AB=E$，则$AB$的秩为$m$（因为$E$是$m$阶单位矩阵）。
2. 秩的传递性：矩阵乘积的秩不超过任一因子的秩，因此$r(A)$和$r(B)$均需至少为$m$。
3. 矩阵秩的限制：结合矩阵的行数和列数，进一步确定$r(A)$和$r(B)$的精确值。

破题关键点：

• $A$的列向量组线性无关：由$AB=E$可知，$A$的列向量通过$B$的线性组合生成单位矩阵，因此$r(A)=m$。
• $B$的行向量组线性无关：同理，$B$的行向量需保证乘积后生成单位矩阵，因此$r(B)=m$。

步骤1：分析矩阵乘积的秩
已知$AB=E$，其中$E$是$m$阶单位矩阵，因此$AB$的秩为$m$。根据矩阵乘积的秩性质：
$r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}$
由于$r(AB)=m$，故必须满足：
$r(A) \geq m \quad \text{且} \quad r(B) \geq m$

步骤2：结合矩阵的行数和列数限制秩

• 矩阵$A$的秩：$A$是$m \times n$矩阵，其秩的最大值为$\min\{m,n\}$。若$r(A) \geq m$，则必须满足$m \leq n$，此时$r(A)=m$。
• 矩阵$B$的秩：$B$是$n \times m$矩阵，其秩的最大值为$\min\{n,m\}$。同理，若$r(B) \geq m$，则必须满足$m \leq n$，此时$r(B)=m$。

步骤3：验证选项

• 选项A：$r(A)=m$，$r(B)=m$，符合上述推导。
• 其他选项：
  • 选项B中$r(B)=n$，但$m \leq n$时$r(B)$最大为$m$，矛盾。
  • 选项C、D中$r(A)=n$或$r(B)=n$，均超过矩阵秩的最大可能值，错误。